《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // BC $,$ \angle ADE = \angle EFC $,$ AE:EC = 5:3 $,$ BF = 10 $,则 $ CF $ 的长为(D)

A.$ 16 $
B.$ 8 $
C.$ 4 $
D.$ 6 $

答案： D

12.(素养题)[2023·青岛市南区校级月考]如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点 $ A $,$ B $,$ C $ 都在横线上。若线段 $ AC = \frac{15}{2} $,则线段 $ AB $ 的长是( )

A.$ \frac{5}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ 5 $

答案：
D[提示:如图,过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AB}{15}=\frac{2}{3}$，解得AB = 10。]

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // FG // BC $,$ AD:DF:FB = 2:3:4 $,若 $ EG = 4 $,则 $ AC = $12。

答案： 12[提示:
∵DE//FG//BC，
∴AE:EG:GC = AD:DF:FB = 2:3:4。
∵EG = 4，
∴AE = $\frac{8}{3}$，GC = $\frac{16}{3}$，AC = AE + EG + GC = 12。]

14. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 为 $ AC $ 上一点,且 $ \frac{CD}{AD} = \frac{1}{2} $,过点 $ D $ 作 $ DE // BC $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,连接 $ CE $,过点 $ D $ 作 $ DF // CE $ 交 $ AB $ 于点 $ F $。若 $ AB = 15 $,则 $ EF = $$\frac{10}{3}$。

答案： $\frac{10}{3}$[提示:
∵DE//BC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$。
∵AB = 15，
∴AE = 10。
∵DF//CE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AF}{10}=\frac{2}{3}$，解得AF = $\frac{20}{3}$，则EF = AE - AF = 10 - $\frac{20}{3}=\frac{10}{3}$。]

15. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线,$ F $ 是 $ AD $ 边上一点,且 $ \frac{AE}{EB} = \frac{1}{6} $,射线 $ CF $ 交 $ AB $ 于 $ E $ 点,求 $ \frac{AF}{FD} $ 的值。

答案：
解:如图,取CE的中点G，连接DG，
∵AD是BC边上的中线，
∴DG是△BCE的中位线，
∴DG//BE，DG = $\frac{1}{2}$BE。
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{6}$，
∴$\frac{AE}{DG}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{DG}=\frac{1}{3}$。

16. 如图,已知 $ AD // BE // CF $,它们依次交直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 于点 $ A $,$ B $,$ C $ 和点 $ D $,$ E $,$ F $,$ \frac{DE}{EF} = \frac{2}{5} $,$ AC = 14 $。
(1) 求 $ AB $,$ BC $ 的长；
(2) 若 $ AD = 7 $,$ CF = 14 $,求 $ BE $ 的长。

答案：
解:
(1)
∵AD//BE//CF，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{7}$。
∵AC = 14，
∴AB = 4，
∴BC = 14 - 4 = 10。
(2)如图,过点A作AG//DF交BE于点H，交CF于点G，又
∵AD//BE//CF，AD = 7，
∴AD = HE = GF = 7。
∵CF = 14，
∴CG = 14 - 7 = 7。
∵BE//CF，
∴$\frac{BH}{CG}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{7}$，
∴BH = 2，
∴BE = 2 + 7 = 9。

17. 请阅读以下材料,并解答相应的问题。
角平分线分线段成比例定理：如图①,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,则 $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明：如图②,过 $ C $ 作 $ CE // DA $,交 $ BA $ 的延长线于 $ E … … $
(1) 请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分；
(2) 如图③,已知 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ AB = 3 $,$ BC = 4 $,$ \angle ABC = 90° $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,则 $ \triangle ABD $ 的周长是多少？

答案：
(1)证明:如题图②,过C作CE//DA,交BA的延长线于E,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$，∠2 = ∠ACE，∠1 = ∠E。
∵∠1 = ∠2，
∴∠ACE = ∠E，
∴AE = AC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2)解:
∵AB = 3，BC = 4，∠ABC = 90°，
∴AC = 5。
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$，
∴BD = $\frac{3}{8}$BC = $\frac{3}{2}$。
∴AD = $\sqrt{BD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+3^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
∴△ABD的周长 = $\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$。