《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,设 $ a,b,c $ 分别为 $ \angle A,\angle B,\angle C $ 的对边,$ \angle C = 90^{\circ},b = 8,\angle BAC $ 的平分线交 $ BC $ 于 $ D $,且 $ AD = \frac{16}{3}\sqrt{3} $,求 $ \angle B,a,c $ 的值。

答案： 解:
∵ ∠C=90°,b=8,∠BAC的平分线AD= $\frac{16}{3}\sqrt{3}$,
∴ $\cos∠CAD=\frac{AC}{AD}=\frac{8}{\frac{16}{3}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ ∠CAD=30°,
∴ ∠CAB=60°,
∴ ∠B=30°,
∴ $a=\frac{b}{\tan30°}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=8\sqrt{3}$,c=2b=16.

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ AB $ 的中点,$ DC \perp AC $,$ \cos\angle DCB = \frac{4}{5} $,求 $ \sin A $。

答案： 解:过点D作DE//AC交BC于E,由$\cos∠DCB=\frac{CD}{CE}=\frac{4}{5}$,设CD=4x,则CE=5x,DE=3x.
∵ 点D是AB的中点,DE//AC,
∴ AC=2DE=6x.在Rt△ACD中,AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}=2\sqrt{13}x$,
∴ $\sin A=\frac{CD}{AD}=\frac{4x}{2\sqrt{13}x}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

3. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = BC,AB = 4,\tan B = 2 $,$ D $ 为 $ AC $ 边上的中点,延长 $ BC $ 到点 $ E $,使得 $ CE = \sqrt{5} $,连接 $ DE $。根据题意画出示意图,并求出 $ DE $ 的长。

答案：
解:如图,过点C作CF⊥AB于点F,延长ED交AB于点N,过点C作CM⊥ED于点M,
∵ AB=4,
∴ AF=BF=2.
∵ $\tan B=2$,
∴ CF=4,
∴ AC=BC=$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵ D为AC边上的中点,
∴ DC=$\sqrt{5}$,又EC=$\sqrt{5}$,
∴ △CED是等腰三角形,
∴ ∠E=∠EDC.
∵ ∠E+∠EDC=∠ACF+∠BCF,∠BCF=∠ACF,
∴ ∠EDC=∠DCF,
∴ ED//FC,
∴ ∠ENF=90°,
∴ 四边形CMNF是矩形.
∵ DN//FC,AD=DC,
∴ AN=NF=1,
∴ MC=1,
∴ EM=MD=2,
∴ DE=4.

4.(2023·济南高新区期中)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 45^{\circ},CD $ 是 $ AB $ 边上的中线,过点 $ D $ 作 $ DE \perp BC $,垂足为点 $ E $,若 $ CD = 5,\sin\angle BCD = \frac{3}{5} $。
(1)求 $ BC $ 的长；
(2)求 $ \angle ACB $ 的正切值。

答案： 解:
(1)设DE=3x,
∵ $\sin∠BCD=\frac{3}{5}$,DE⊥BC,
∴ $\frac{DE}{CD}=\frac{3}{5}$,
∴ CD=5x,CE=4x.
∵ CD=5,
∴ x=1.
∵ ∠B=45°,
∴ DE=BE=3,
∴ BC=BE+CE=7.
(2)过点A作AF⊥BC于点F,
∴ DE//AF.
∵ D是AB的中点,
∴ DE是△ABF的中位线,
∴ AF=2DE,BF=2BE.由
(1)可知DE=BE=3,
∴ AF=6,BF=6,
∴ CF=BC - BF=1,
∴ $\tan∠ACB=6$.