《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

12. 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,若 $\angle B = 58^{\circ}$,$\angle ACD = 40^{\circ}$,则 $\overset{\frown}{DC}$ 所对的圆心角的度数为(36°)

A.$18^{\circ}$
B.$24^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$36^{\circ}$

答案： D[提示:连接 OD,OC.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°,
∴ ∠ADC = 180° - 58° = 122°.
∵ ∠CAD = 180° - ∠ADC - ∠ACD = 180° - 122° - 40° = 18°,
∴ ∠DOC = 2∠CAD = 36°.

13. 如图,$\odot C$ 过原点,且与两坐标轴分别交于点 $A$,$B$,点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$,$M$ 是第三象限内 $\overset{\frown}{OB}$ 上一点,$\angle BMO = 120^{\circ}$,则 $\odot C$ 的半径长为(3)

A.$6$
B.$5$
C.$3$
D.$3\sqrt{2}$

答案： C[提示:
∵ 四边形 ABMO 是⊙C 的内接四边形,∠BMO = 120°,
∴ ∠BAO = 60°.
∵ AB 是⊙C 的直径,
∴ ∠AOB = 90°.
∴ ∠ABO = 90° - ∠BAO = 90° - 60° = 30°.
∵ 点 A 的坐标为(0,3),
∴ OA = 3.
∴ AB = 2OA = 6.
∴ ⊙C 的半径长为 AB/2 = 3.]

14. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,连接 $CO$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$,连接 $BE$,若 $\angle A = 100^{\circ}$,$\angle E = 60^{\circ}$,则 $\angle OCD = $50°。

答案： 50°[提示:
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠A + ∠BCD = 180°.
∵ ∠A = 100°,
∴ ∠BCD = 80°.
∵ CE 是⊙O 的直径,
∴ ∠EBC = 90°,
∴ ∠E + ∠BCE = 90°.
∵ ∠E = 60°,
∴ ∠BCE = 30°,
∴ ∠OCD = ∠BCD - ∠BCE = 80° - 30° = 50°.

15. 如图,四边形 $ABCD$ 为圆内接四边形,$E$ 为 $DA$ 延长线上一点,若 $\angle C = 45^{\circ}$,$AB = \sqrt{2}$,则点 $B$ 到 $AE$ 的距离为______。

1

答案： 1[提示:过点 B 作 BF⊥AE 于点 F.
∵ 四边形 ABCD 为圆内接四边形,
∴ ∠DAB + ∠C = 180°.
∵ ∠EAB + ∠BAD = 180°,∠C = 45°,
∴ ∠EAB = ∠C = 45°.
∴ AF = BF.
∵ AB = √2,
∴ BF = ABsin45° = 1.
∴ 点 B 到 AE 的距离为 1.]

16. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$AC$ 为 $\odot O$ 的直径,$\angle ADB = \angle CDB$,$AB = 5\sqrt{2}$,$AD = 6$,则 $DB$ 的长为______。

7√2

答案： 7√2[提示:
∵ AC 为⊙O 的直径,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ ∠ADB = ∠CDB = 45°.过 A 点作 AE⊥BD 于 E 点,在 Rt△ADE 中,
∵ ∠ADE = 45°,
∴ AE = DE = (√2/2)AD = (√2/2)×6 = 3√2.在 Rt△ABE 中,BE = √(AB² - AE²) = √((5√2)² - (3√2)²) = 4√2,
∴ DB = DE + BE = 3√2 + 4√2 = 7√2.]

17. 如图,圆内接四边形 $ABCD$ 的两组对边延长线分别交于 $E$,$F$,$\angle AEB$,$\angle AFD$ 的平分线交于 $P$ 点。求证：$PE \perp PF$。

答案： 证明:
∵ 四边形 ABCD 内接于圆,
∴ ∠BCF = ∠A.
∵ FM 平分∠BFC,
∴ ∠BFN = ∠CFN.
∵ ∠EMP = ∠A + ∠BFN,∠PNE = ∠BCF + ∠CFN,
∴ ∠EMP = ∠PNE,
∴ EM = EN.
∵ EP 平分∠MEN,
∴ PE⊥PF.

18. 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,延长 $DC$,$AB$ 交于点 $E$,且 $BE = BC$。
(1) 求证：$\triangle ADE$ 是等腰三角形；
(2) 若 $\angle D = 90^{\circ}$,$\odot O$ 的半径为 $5$,$BC:DC = 1:\sqrt{2}$,求 $\triangle CBE$ 的周长。

答案：

(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠A = ∠BCE.
∵ BE = BC,
∴ ∠BCE = ∠BEC.
∴ ∠A = ∠BEC.
∴ DA = DE,即△ADE 是等腰三角形.
(2)解:如图,连接 AC,设 BC = k,则 CD = √2 k.
∵ ∠D = 90°,
∴ ∠CBE = ∠D = 90°.又 BE = BC,
∴ ∠E = 45°,
∴ BE = BC = k,EC = √2 k,
∴ DE = AD = 2√2 k.由勾股定理,得 AC = √10 k.
∵ ⊙O 的半径为 5,
∴ √10 k = 10,解得 k = √10.
∴ △CBE 的周长为 2√10 + 2√5.

19. (2023·北京中考) 如图,圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $E$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$\angle BAC = \angle ADB$。
(1) 求证：$DB$ 平分 $\angle ADC$,并求 $\angle BAD$ 的大小；
(2) 过点 $C$ 作 $CF // AD$ 交 $AB$ 的延长线于点 $F$,若 $AC = AD$,$BF = 2$,求此圆半径的长。

答案： 解:
(1)
∵ ∠BAC = ∠ADB,∠BAC = ∠CDB,
∴ ∠ADB = ∠CDB,
∴ DB 平分∠ADC.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°,
∴ ∠ABD + ∠CBD + ∠ADB + ∠CDB = 180°,
∴ 2(∠ABD + ∠ADB) = 180°,
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°,
∴ ∠BAD = 180° - 90° = 90°.
(2)
∵ ∠BAE + ∠DAE = 90°,∠BAE = ∠ADE,
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°,
∴ ∠AED = 90°.
∵ ∠BAD = 90°,
∴ BD 是圆的直径,
∴ BD 垂直平分 AC,
∴ AD = CD.
∵ AC = AD,
∴ △ACD 是等边三角形,
∴ ∠ADC = 60°.
∵ BD⊥AC,
∴ ∠BDC = (1/2)∠ADC = 30°.
∵ CF//AD,
∴ ∠F + ∠BAD = 180°,
∴ ∠F = 90°.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°.
∵ ∠FBC + ∠ABC = 180°,
∴ ∠FBC = ∠ADC = 60°,
∴ BC = 2BF = 4.
∵ ∠BCD = 90°,∠BDC = 30°,
∴ BC = (1/2)BD.
∵ BD 是圆的直径,
∴ 圆的半径长是 4.