《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. 如图,$A$,$B$,$C$,$D$ 是 $\odot O$ 上的四点,若 $\angle D = 70^{\circ}$,则 $\angle B$ 的度数为(B)

A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$109^{\circ}$

答案： B

2. 如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 在 $\odot O$ 上,$\angle D = 60^{\circ}$,$AB = AC$,则 $\angle ABC$ 的度数为(B)

A.$15^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： B

3. (2023·济宁期中) 如图,已知四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$\angle A = 100^{\circ}$,则 $\angle BOD$ 的度数为(C)

A.$80^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$160^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

答案： C

4. 如图,四边形 $ABCD$ 是圆内接四边形,$\angle BAD = 108^{\circ}$,$E$ 是 $BC$ 延长线上一点,若 $\angle ECF = 60^{\circ}$,则 $\angle DCF$ 的度数为(B)

A.$30^{\circ}$
B.$48^{\circ}$
C.$54^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： B

5. 如图,$\odot O$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆,$AC$ 平分 $\angle BAD$,则下列结论：① $AB = AD$；② $BC = CD$；③ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$；④ $\angle BCA = \angle DCA$；⑤ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$。其中正确结论的序号是②⑤。

答案： ②⑤

6. 在圆内接四边形 $ABCD$ 中,若 $\angle A:\angle B:\angle C = 2:3:4$,则 $\angle A$ 的度数为60°。

答案： 60°

7. 如图,$\triangle ABC$ 中,$\angle A = 40^{\circ}$,$\angle C = 60^{\circ}$,$\odot O$ 与边 $AB$,$AC$ 的另一个交点分别为 $D$,$E$。则 $\angle AED$ 的度数为80$^{\circ}$。

答案： 80 [提示:
∵ 四边形 BCED 为⊙O 的内接四边形,
∴ ∠C + ∠BDE = 180°.
∵ ∠ADE + ∠BDE = 180°,
∴ ∠ADE = ∠C = 60°,
∴ ∠AED = 180° - ∠A - ∠ADE = 180° - 40° - 60° = 80°.]

8. 如图,将 $\odot O$ 沿弦 $AB$ 折叠,点 $C$ 在 $\overset{\frown}{AmB}$ 上,点 $D$ 在 $\overset{\frown}{AB}$ 上,若 $\angle ACB = 70^{\circ}$,则 $\angle ADB = $______。

答案：
110°[提示:如图,设点 D 关于 AB 的对称点为 E,连接 AE,BE.
∵ ∠E + ∠ACB = 180°,∠ACB = 70°,
∴ ∠E = 110°,
∴ ∠ADB = 110°.]

9. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$E$ 为 $BC$ 延长线上一点,连接 $AC$,$BD$,若 $DA = DB$,求证：$CD$ 平分 $\angle ACE$。

答案： 证明:
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠DAB = ∠DCE.
∵ DA = DB,
∴ ∠DAB = ∠DBA,
∴ ∠DBA = ∠DCE.
∵ ∠DBA 与∠DCA 是同弧所对的圆周角,
∴ ∠DBA = ∠DCA,
∴ ∠DCA = ∠DCE,即 CD 平分∠ACE.

10. 如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 在 $\odot O$ 上,连接 $OA$,$OC$,若 $\angle OAB = 60^{\circ}$,$\angle ABC = \angle AOC$,$AO = BC$,求证：四边形 $OABC$ 是菱形。

答案： 证明:连接 OB,
∵ OA = OB,∠OAB = 60°,
∴ △OAB 是等边三角形,
∴ OA = AB.
∵ AO = BC,
∴ OA = AB = BC = OC,
∴ 四边形 OABC 是菱形.

11. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$AC$ 为 $\odot O$ 的直径,$\angle ADB = \angle CDB$。
(1) 试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并给出证明；
(2) 若 $AB = 5\sqrt{2}$,$AD = 6$,求 $CD$ 的长度。

答案： 解:
(1)△ABC 是等腰直角三角形.证明如下:
∵ AC 为⊙O 的直径,
∴ ∠ADC = ∠ABC = 90°.
∵ ∠ADB = ∠CDB,
∴ AB = BC,又
∵ ∠ABC = 90°,
∴ △ABC 是等腰直角三角形.
(2)
∵ △ABC 是等腰直角三角形,
∴ BC = AB = 5√2,
∴ AC = √(AB² + BC²) = 10. 在 Rt△ADC 中,∠ADC = 90°,AD = 6,则 CD = √(AC² - AD²) = 8,
∴ CD = 8.