《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

7. (2023·聊城东阿县校级月考)如图,$E$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的点,已知 $\angle BAE = \angle CAD$,$\dfrac{AC}{AD} = \dfrac{6}{5}$,$AB = 18$,$AE = 15$.求证：$\triangle ABC \backsim \triangle AED$.

答案： 7.证明:
∵ $\frac{AC}{AD}=\frac{6}{5}$,AB=18,AE=15,
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}=\frac{6}{5}$.
∵ ∠BAE=∠CAD,
∴ ∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,即∠BAC=∠EAD,
∴ △ABC∽△AED.

8. 如图,$\angle BAD = \angle CAE$,$\angle B = \angle D$.
(1)$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 相似吗？为什么？
(2)如果 $AB = 3AD$,$BC = 6$,那么 $DE$ 的长为多少？

答案： 8.
(1)解:△ABC与△ADE相似,理由如下:
∵ ∠BAD=∠CAE,
∴ ∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,
∴ ∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中,
∵ ∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,
∴ △ABC∽△ADE.
(2)解:
∵ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$.
∵ AB=3AD,BC=6,
∴ $\frac{DE}{6}=\frac{1}{3}$,
∴ DE=2,即DE的长是2.

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,点 $D$,$E$ 分别是边 $BC$,$AC$ 上的点,且 $\angle ADE = \angle C$.求证：$AC \cdot CE = CD \cdot BD$.

答案： 9.证明:
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C.
∵ ∠ADE=∠C,
∴ ∠B=∠ADE.
∵ ∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,
∴ ∠EDC=∠BAD.
∵ ∠B=∠C,
∴ △ABD∽△DCE,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$.
∵ AB=AC,
∴ AC·CE=CD·BD.

10. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 为边 $AD$ 上的点,点 $F$ 在边 $CD$ 上,$\angle BEF = 90^{\circ}$ 且 $CF = 3FD$.
(1)求证：$\triangle ABE \backsim \triangle DEF$；
(2)若 $AB = 4$,延长 $EF$ 交 $BC$ 的延长线于点 $G$,求 $CG$ 的长.

答案： 10.
(1)证明:
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ∠A=∠D=90°.
∵ ∠BEF=90°,
∴ ∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEF=90°,
∴ ∠ABE=∠DEF,
∴ △ABE∽△DEF.
(2)解:
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ AB=AD=CD=4,AD//BG.
∵ CF=3FD,
∴ DF=1. 设DE=x,
∵ △ABE∽△DEF,
∴ $\frac{DF}{AE}=\frac{DE}{AB}$,即$\frac{1}{4-x}=\frac{x}{4}$,解得x=2,
∴ DE=2.
∵ AD//BG,
∴ ∠DEF=∠G.
∵ ∠DFE=∠CFG,
∴ △CGF∽△DEF,
∴ $\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$.
∵ CF=3FD,
∴ $\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$,
∴ CG=6.