《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. (2023·泰安泰山区期中)如图,在△ABC 中,∠A = 30°,tan B = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,AC = 2$\sqrt{3}$,则 AB 的长是(C)

A.4
B.3 + $\sqrt{3}$
C.5
D.2 + 2$\sqrt{3}$

答案： C[提示:过 C 作 CD⊥AB 于 D,在 Rt△ACD 中,∠A=30°,AC=2√3,
∴ CD=1/2AC=√3,AD=√3CD=3.在 Rt△BCD 中,tanB=CD/BD,
∴ √3/BD=√3/2,
∴ BD=2,
∴ AB=AD+BD=3+2=5.]

2. 如图,在△ABC 中,∠B = 45°,∠C = 75°,AC = 6,则 AB 的长是(3(√3+1))

A.2($\sqrt{3}$ + 1)
B.3($\sqrt{3}$ + 1)
C.4($\sqrt{3}$ + 1)
D.5($\sqrt{3}$ + 1)

答案： B[提示:过 C 作 CD⊥AB 于 D,则∠BDC=∠ADC=90°.
∵ ∠B=45°,
∴ △BCD 是等腰直角三角形,
∴ BD=CD,∠BCD=45°.
∵ ∠ACB=75°,
∴ ∠ACD=∠ACB - ∠BCD=30°,
∴ AD=1/2AC=1/2×6=3,CD=√3AD=3√3,
∴ BD=CD=3√3,
∴ AB=BD+AD=3√3+3=3(√3+1).]

3. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B = ∠D = 90°,AB = 3,BC = 2,tan A = $\frac{4}{3}$,则 CD 的长为( )

A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{6}{5}$
D.2

答案：
C[提示:如图所示，延长 AD,BC,两线交于 O,在 Rt△ABO 中,
∵ ∠B=90°,tanA=4/3=OB/AB,AB=3,
∴ OB=4.
∵ BC=2,
∴ OC=OB - BC=4 - 2=2.在 Rt△ABO 中,由勾股定理,得 AO=5.
∵ ∠ADC=90°,
∴ ∠ODC=90°=∠B.
∵ ∠O=∠O,
∴ △ODC∽△OBA,
∴ DC/AB=OC/OA,
∴ DC/3=2/5,解得 DC=6/5.]

4. 如图,在△ABC 中,AC = 6,BC = 5,sin A = $\frac{2}{3}$,则 tan B = 4/3.

答案： 4/3[提示:过 C 作 CD⊥AB 于 D,由 AC=6,BC=5,sinA=2/3,得 CD=AC·sinA=6×2/3=4.在 Rt△BCD 中,由勾股定理,得 DB=√(BC² - CD²)=√(5² - 4²)=3,tanB=CD/DB=4/3.]

5. 如图,在△ABC 中,sin B = $\frac{1}{3}$,tan C = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,AB = 3,求 AC 的长.

答案： 解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,在 Rt△ABD 中,sinB=1/3=AD/AB,AB=3,
∴ AD=1.在 Rt△ACD 中,tanC=√2/2=AD/CD,
∴ CD=√2AD=√2.在 Rt△ACD 中,由勾股定理得 AC=√(AD² + CD²)=√(1²+(√2)²)=√3.

6. (2023·潍坊诸城市月考)如图,在△ABC 中,AB = 6,∠A = 45°,∠B = 75°,求 AB 边上的高.

答案： 解:过 B 作 BD⊥AC 于 D,则∠BDA=∠BDC=90°.
∵ ∠A=45°,
∴ ∠ABD=45°=∠A,
∴ AD=BD.
∵ AB=6,
∴ BD=AD=AB×sin45°=6×√2/2=3√2.
∵ ∠ABC=75°,∠ABD=45°,
∴ ∠CBD=30°.
∵ tan30°=CD/BD,
∴ CD=BD×tan30°=3√2×√3/3=√6,
∴ AC=AD+CD=3√2+√6.设 AB 边上的高为 h,
∵ S△ACB=1/2AC·BD=1/2×(3√2+√6)×3√2=9+3√3,
∴ 1/2AB·h=9+3√3,解得 h=3+√3,即 AB 边上的高为 3+√3.

7. 如图,点 A,B,C 在正方形网格的格点上,则 sin∠BAC 等于(B)
A.$\frac{\sqrt{2}}{6}$
B.$\frac{\sqrt{26}}{26}$
C.$\frac{\sqrt{26}}{13}$
D.$\frac{\sqrt{13}}{13}$

答案： B[提示:过点 B 作 BD⊥AC 于 D,设每个小正方形的边长为 1.由勾股定理,得 AB=√(3²+2²)=√13,AC=√(3²+3²)=3√2.
∵ S△ABC=1/2AC·BD=1/2×1×3,
∴ BD=√2/2,
∴ sin∠BAC=BD/AB=√2/2√13=√26/26.]

8. (2023·东营模拟)如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC 的顶点均在格点上,则 sin∠BAC 的值是( )

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$

答案：
A[提示:延长 AC 至格点 D,连接 BD,如图,由题意得 AB²=3²+4²=25,AD²=2²+4²=20,BD²=1²+2²=5,
∴ AB²=AD²+BD²,
∴ ∠ADB=90°,
∴ sin∠BAC=BD/AB=√5/5.]

9. (2023·烟台莱州市期中)如图,网格中的每个小正方形的边长都是 1,△ABC 的顶点都在格点上,则∠ABC 的正弦值为______.

答案：
3√10/10[提示:如图,取 BC 的中点 D,连接 AD,由网格得 AC=√(2²+4²)=2√5,AB=√(2²+4²)=2√5,
∴ AB=AC,
∴ AD⊥BC.在 Rt△ABD 中,
∵ AD=√(3²+3²)=3√2,
∴ sin∠ABC=AD/AB=3√2/2√5=3√10/10.]

10. (素养题)如图,在 5×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上,求 sin∠ABC 的值.

答案： 解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则∠BDC=90°.由勾股定理得 BC=√(4²+1²)=√17,
∴ sin∠ABC=CD/CB=4/√17=4√17/17.