《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

10. 如图,在四边形ABCD中,AB = AD = CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E.
(1)求证：OD//BC；
(2)若tan∠ABC = 2,求证：DA与⊙O相切.

答案： 证明:
(1)连接OC,在△OAD和△OCD中,$\begin{cases}OA = OC\\AD = CD\\OD = OD\end{cases}$
∴△OAD≌△OCD,
∴∠ADO=∠CDO.又AD=CD,
∴DE⊥AC.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OD//BC；
(2)
∵tan∠ABC = 2,
∴AC = 2BC,
∴设BC = a,则AC = 2a,
∴AD=AB=$\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{5}a$.
∵OE//BC,且AO = BO,
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}a$,AE=CE=$\frac{1}{2}$AC = a.在△AED中,DE=$\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5a^{2}-a^{2}}=2a$,在△AOD中,$AO^{2}+AD^{2}=(\frac{\sqrt{5}}{2}a)^{2}+(\sqrt{5}a)^{2}=\frac{25}{4}a^{2}$,$OD^{2}=(OE + DE)^{2}=(\frac{1}{2}a + 2a)^{2}=\frac{25}{4}a^{2}$,
∴$AO^{2}+AD^{2}=OD^{2}$,
∴∠OAD = 90°，则DA与⊙O相切.

11. 如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线与边BC相交于点D,与△ABC的外接圆相交于点E.求证：IE = BE.

答案： 证明:连接IB.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠IBD.又
∵∠CAD=∠DBE,
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE.
∴BE = IE.

12. 如图,⊙O是△ABC的内切圆,过点O作DE//BC,与AB,AC分别交于点D,E.
(1)求证：BD + CE = DE；
(2)若∠BAC = 70°,求∠BOC的度数.

答案：
(1)证明:
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.
∵DE//BC,
∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC.
∴BD=DO,EO=EC,
∴BD + CE = DE；
(2)解:
∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB.在△OBC中,∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−$\frac{1}{2}$(180°−70°)=125°.

13. 如图,半圆O的直径AB = 2,弦CD//AB,∠CAD = 30°,求阴影部分的面积.(结果保留π)

答案： 解:连接OC,OD,
∵∠CAD=30°,
∴∠COD=60°.
∵AB//CD,
∴$S_{△ACD}=S_{△COD}$.
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形OCD}=\frac{60\pi×1^{2}}{360}=\frac{1}{6}\pi$.

14. 如图,⊙O的直径BC为6 cm,弦AC为3 cm,∠CAB的平分线交⊙O于点D,连接CD,BD.
(1)求∠CBD的度数；
(2)求阴影部分的面积.

答案： 解:
(1)
∵BC是⊙O的直径,
∴∠CAB=90°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB = 45°,
∴∠CBD=∠CAD = 45°；
(2)连接OA,
∵BC = 6cm,AC = 3cm,∠CAB = 90°,
∴∠ABC = 30°,OA = OB = 3cm,AB=$\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}(cm)$,
∴∠ACB=90°−30° = 60°,
∴∠AOB=2∠ACB = 120°,
∴$S_{扇形AOB}=\frac{120\pi×3^{2}}{360}=3\pi(cm^{2})$.
∵OA = OB,
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}S_{△ACB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}(cm^{2})$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△AOB}=(3\pi-\frac{9\sqrt{3}}{4})cm^{2}$,即阴影部分的面积为$(3\pi-\frac{9\sqrt{3}}{4})cm^{2}$.