《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

8. 如图,四边形$ABCD$是梯形,$AD// BC$,$\angle B= 45^{\circ}$,$AD= 6$,$AB= 3\sqrt{2}$,点$E在BC$的延长线上,$\angle E= 30^{\circ}$,求$BE$的长.

答案： 解:分别过A,D作AF⊥BC,DG⊥BC,
∵AD//BC,
∴四边形AFGD是矩形,
∴FG=AD=6,AF=DG.在Rt△ABF中,
∵AB=3√2,∠B=45°,
∴BF=AF=DG=ABsin45°=3√2×√2/2=3.在Rt△DGE中,tan E=DG/GE,
∴GE=DG/tan30°=3/(√3/3)=3√3.
∴BE=BF+FG+GE=3+6+3√3=9+3√3.

9. 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$\angle BCD= 45^{\circ}$,点$E在BC$上,且$\angle AEB= 60^{\circ}$. 若$AB= 2\sqrt{3}$,$AD= 1$,求$CD和CE$的长.

答案： 解:过点D作DF⊥BC,垂足为F.
∵AD//BC,∠ABC=90°,
∴四边形ABFD为矩形.
∵∠BCD=45°,
∴DF=CF.
∵AB=2√3,
∴DF=CF=2√3.由勾股定理,得CD=2√6.
∵AD=1,
∴BF=1,
∴BC=2√3+1.
∵∠AEB=60°,
∴tan60°=AB/BE,
∴2√3/BE=√3,
∴BE=2,
∴CE=BC - BE=2√3+1 - 2=2√3 - 1.

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB= 8$,$BC= 1$,$\angle DAB= 30^{\circ}$,$\angle ABC= 60^{\circ}$,四边形$ABCD的面积为5\sqrt{3}$,则$AD$的长为( )

A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

答案：
C[提示:如图,延长AD,BC交于点E,
∵∠DAB=30°,∠ABC=60°,
∴∠E=90°.又
∵AB=8,∠DAB=30°,
∴BE=1/2AB=4,AE=√3BE=4√3,
∴CE=3.
∵S四边形ABCD=5√3,
∴1/2×AE×BE - 1/2EC×DE=5√3,
∴DE=2√3,
∴AD=2√3.]

11. 如图,四边形$ABCD$中,$AB\perp BC$,$\angle BCD= 150^{\circ}$,$\angle BAD= 60^{\circ}$,$AB= 4$,$BC= 2\sqrt{3}$,求$CD$的长.

答案：
解:如图,分别延长AB,DC交于点E.
∵∠BCD=150°,
∴∠BCE=30°.
∵AB⊥BC,∠CBE=90°,
∴∠AEC=60°.又
∵∠BAD=60°,
∴△AED是等边三角形.
∴DE=AE.在Rt△BCE中,
∵BC=2√3,∠E=60°,
∴EC=BC/sin E=4,BE=BC/tan E=2,
∵AB=4,DE=AB+BE=6,
∴CD=DE - CE=6 - 4=2.

12. 某片绿地的形状如图,其中$\angle A= 60^{\circ}$,$AB\perp BC$,$AD\perp CD$,$AB= 200m$,$CD= 100m$.
(1)求$AD$,$BC$的长；
(2)求这片绿地的面积.(结果保留根号)

答案：
解:
(1)如图,延长AD,交BC的延长线于点E,在Rt△ABE中,由AB=200m,∠A=60°得BE=AB·tan A=200√3m,AE=AB/cos A=400m.在Rt△CDE中,由CD=100m,∠CED=90° - ∠A=30°,得CE=2CD=200m,DE=CD/tan∠CED=100√3m,
∴AD=AE - DE=(400 - 100√3)m,BC=BE - CE=(200√3 - 200)m.
(2)200×200√3÷2 - 100×100√3÷2=20000√3 - 5000√3=15000√3(m²).即这片绿地的面积是15000√3m².