《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

10. 如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,切点分别是P,C,D. 若AB= 10,AC= 6,则BD的长是 (B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B

11. 矩形ABCD中,AB= 4,AD= 3,以AB为直径在矩形内作半圆O. DE切半圆O于点E(如图所示),则tan∠CDF的值为 (B)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{5}{13}$
D.$\frac{4}{9}$

答案： B[提示:设FC=x,
∵AD,DE都是半圆O的切线，
∴DA=DE=3.又
∵EF,FB都是半圆O的切线，
∴EF=FB=3−x.在Rt△DCF中,由勾股定理得(6−x)²=x²+4²,解得x=$\frac{5}{3}$.则tan∠CDF=$\frac{FC}{DC}$=$\frac{\frac{5}{3}}{4}$=$\frac{5}{12}$.

12. 如图,⊙O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB= 4,AC= 5,AD= 1,那么BC的长为7.

答案： 7[提示:
∵AB,AC,BC都是⊙O的切线,
∴AD=AE,BD=BF,CE=CF.
∵AB=4,AC=5,AD=1,
∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4,
∴BC=BF+CF=3+4=7.

13. 如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,连接AB,已知∠P= 60°,OA= 3,那么AB的长为3√3.

答案： 3√3[提示:如图,过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB.
∵PA,PB是⊙O的切线，
∴PA=PB,OA⊥PA.
∵∠P =60°,
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB=60°,
∴∠OAC =90°−∠PAB=30°.在Rt△AOC中,OA=3,
∴AC=OA·cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴AB=2AC=3√3.

14. 如图,圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆,EF切圆O于P点,交AB,BC于点E,F,求△BEF的周长.
]

答案： 解:如图,设⊙O切AB于M,切BC于N,连接OM,ON,则∠OMB=∠ONB=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B =90°.
∵ON=OM,
∴四边形MBNO是正方形.
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM=BN=OM=ON =$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3.由切线长定理得EM=EP,PF=FN,
∴△BEF的周长为BF+EF+BE=BF+PF+PE+BE=BF+FN+EM+BE=BN+BM=3+3=6.

15. 如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠P= 60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)当OA= 2时,求AB的长.
]

答案： 解:
(1)
∵PA,PB是⊙O的切线，
∴AP=BP.
∵∠P=60°,
∴∠PAB=60°.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°,
∴∠BAC=90°−60°=30°.　
(2)连接OP,在Rt△AOP中，
∵OA=2,∠APO=30°,
∴AP=$\frac{OA}{\tan∠APO}$=2√3;
∵AP =BP,∠APB=60°,
∴△APB是等边三角形,
∴AB=AP =2√3.

16. 如图,已知AB为⊙O的直径,PA,PC是⊙O的切线,A,C为切点,∠BAC= 30°.
(1)求∠P的大小；
(2)若AB= 2,求PA的长.
]

答案： 解:
(1)
∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB,
∴∠BAP=90°.
∵∠BAC=30°,
∴∠CAP=90°−∠BAC=60°.又
∵PA,PC切⊙O于点A,C,
∴PA=PC,
∴△PAC为等边三角形，
∴∠P=60°.　
(2)连接BC,则∠ACB=90°.在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,
∵cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$,
∴AC=AB·cos∠BAC=2cos30°=√3;
∵△PAC为等边三角形，
∴PA=AC,
∴PA=√3;