《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

6. (2023·山东日照中考)如图,海岸线$l上有一小码头A$,灯塔$B位于码头A$的正北方向,海岛$C位于码头A北偏东60^{\circ}$方向.一艘勘测船从海岛$C沿北偏西30^{\circ}方向往灯塔B$行驶,沿海岸线勘测石油资源,勘测发现位于码头$A北偏东15^{\circ}方向的D$处石油资源丰富.若规划修建从$D$处到海岸线的输油管道,则输油管道的最短长度是多少千米? (结果保留根号)

答案： 解:如图,过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,在 C 点正北方向取一点 F,正南方向取一点 G,由题意得∠BAD=15°,∠BAC=60°,∠BCF=30°,AB//FG,
∴ ∠ACG=∠BAC=60°,∠BCF=∠ABC=30°,
∴ ∠ACB=180°-∠ACG-∠BCF=90°.
∵ AB=24,
∴ AC=1/2AB=12,BC=√3AC=12√3.在 Rt△ACD 中,∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°,
∴ CD=AC·tan45°=12,
∴ BD=BC - CD=12√3 - 12.在 Rt△BDE 中,∠ABC=30°,
∴ DE=1/2BD=6√3 - 6,
∴ 输油管道的最短长度是(6√3 - 6)千米.

7. (2023·潍坊昌乐县月考)[多选题]下列说法中,错误的是(ABC)
A.在$Rt\triangle ABC$中,锐角$A的两边都扩大5$倍,则$\cos A也扩大5$倍
B.若$45^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$,则$\sin\alpha\gt1$
C.$\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}=\cos(30^{\circ}+45^{\circ})$
D.若$\alpha$为锐角,$\tan\alpha=\frac{5}{12}$,则$\sin\alpha=\frac{5}{13}$

答案： ABC

8. (2023·潍坊期中)请阅读下面材料,并根据提供的解题思路求解问题:
如图①,在由边长为$1的小正方形组成的3×2$的网格中,连接格点$D,N和E,C$,$DN和EC相交于点P$,求$\cos\angle CPN$的值.
【解题思路】
要求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中$\angle CPN$不在直角三角形中,我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点$M,N$,可发现$MN// EC$,则$\angle DNM= \angle CPN$,连接$DM$,那么$\angle CPN就变换到Rt\triangle DMN$中,进而求出答案.
【解决问题】
(1)根据上述解题思路,请求出图①中$\cos\angle CPN$的值;
(2)如图②,在由边长为$1的小正方形组成的3×2$的网格中,$AN与CM相交于点P(A,N,C,M$均在格点上),求$\sin\angle CPN$的值.
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答案： 解:
(1)如图①,
∵ 点 M,N,D 都在格点上,
∴ DN=√(3²+1²)=√10,MN=√(1²+1²)=√2,DM=√(2²+2²)=2√2.
∵ ∠ECN=∠MNK=45°,
∴ MN//EC.
∴ ∠DNM=∠CPN.
∵ DM²+MN²=8+2=10,DN²=10,
∴ DM²+MN²=DN²,
∴ △DMN 是直角三角形.在 Rt△DMN 中,cos∠CPN=cos∠DNM=MN/DN=√2/√10=(√2×√10)/10=√5/5.
(2)如图②,连接格点 N,G,A.
∵ 点 N,G,A 在格点上,
∴ AG=GN=√(1²+2²)=√5,AN=√(1²+3²)=√10.
∵ AG²+GN²=(√5)²+(√5)²=10,AN²=10,
∴ AG²+GN²=AN².
∴ △AGN 是直角三角形.
∵ tan∠CMK=tan∠GAK=2,
∴ ∠CMK=∠GAK.
∴ AG//CM.
∴ ∠CPN=∠GAN.在 Rt△AGN 中,
∴ sin∠CPN=sin∠GAN=GN/AN=√5/√10=√2/2.

9. (跨学科融合题)我们在物理学科中学过:光线从空气射入水中会发生折射现象(如图①),我们把$n= \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$称为折射率(其中$\alpha$表示入射角,$\beta$表示折射角).

【观察实验】
为了观察光线的折射现象,设计了如图②所示的实验,即通过细管$MN可以看见水底的物块C$,但不在细管$MN$所在直线上,图③是实验的示意图,四边形$ABFE$为矩形,点$A,C,B$在同一直线上,测得$BF = 12\ cm$,$DF = 16\ cm$.$\left(参考数据:\sin53^{\circ}\approx\frac{4}{5},\cos53^{\circ}\approx\frac{3}{5},\tan53^{\circ}\approx\frac{4}{3}\right)$

(1)求入射角$\alpha$的度数;
(2)若$BC = 7\ cm$,求光线从空气射入水中的折射率$n$.

答案： 解:
(1)如图,过点 D 作 DG⊥AB,垂足为 G,由题意得四边形 DGBF 是矩形,
∴ DG=BF=12 cm,BG=DF=16 cm.在 Rt△DGB 中,tan∠BDG=BG/DG=16/12=4/3,
∴ ∠BDG≈53°,
∴ α=∠BDG≈53°,
∴ 入射角 α 的度数约为 53°.
(2)
∵ BG=16 cm,BC=7 cm,
∴ CG=BG - BC=9(cm).在 Rt△CDG 中,DG=12 cm,
∴ DC=√(CG²+DG²)=√(9²+12²)=15(cm),
∴ sinβ=sin∠GDC=CG/CD=9/15=3/5.由
(1)得 α≈53°,
∴ sinα≈4/5,
∴ 折射率 n=sinα/sinβ=(4/5)/(3/5)=4/3,
∴ 光线从空气射入水中的折射率 n 约为 4/3.