《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

10. 如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点F是劣弧$\overgroup{DE}$上的动点,则∠AFC的度数为( )

A.60°
B.72°
C.144°
D.随着点F的变化而变化

答案：
B[提示:如图，连接OA,OB,OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=$\frac{360°}{5}$=72°，
∴∠AOC=72°+72°=144°，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠AOC=72°。]

11. 如图,点$P_1$~$P_6$是⊙O的六等分点.若△$P_1P_5P_6$,△$P_2P_3P_5的周长分别为C_1$,$C_2$,面积分别为$S_1$,$S_2$,则下列正确的是( )

A.$C_1 = C_2$
B.$C_2 = 2C_1$
C.$S_1 = S_2$
D.$S_2 = 2S_1$

答案：
D[提示:如图，连接OP₁,OP₆,P₃P₄，
∵点P₁~P₆是⊙O的六等分点，
∴P₁P₆//P₂P₅//P₃P₄，P₁P₆=P₂P₅=P₂P₃，P₁P₅=P₃P₅，
∵OP₁=OP₆，∠P₁OP₆=60°，
∴△P₁OP₆是等边三角形，
∴P₂P₅=2P₁P₆，
∴S₂=2S△P₁OP₆=2S₁，故D正确，C不正确。
∵两个三角形有两条边相等，一条边是2倍关系，
∴C₂≠C₁≠2C₁，故A,B不正确。]

12. 如图,在正六边形ABCDEF中,点P是AF上任意一点,连接PC,PD,则△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为____.

答案：
1:3[提示:设正六边形的中心为O，如图，连接CF,DF,OD，
∵AF//CD，
∴$S_{\triangle PCD}=S_{\triangle FCD}$。
∵OC=OF，
∴$S_{\triangle OCD}=S_{\triangle OFD}=\frac{1}{2}S_{\triangle FCD}$。
∵$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{6}S_{正六边形}$，
∴△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为1:3。]

13. 如图,⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A,E,若正八边形的边长为2,则劣弧$\overgroup{AE}$的长为____.

答案：
$\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}$[提示:如图，连接OA,OE,OD，
∵⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A,E，
∴∠OAH=∠OEF=90°。
∵六边形AHGFEO的内角和为(6 - 2)×180°=720°，∠H=∠G=∠F=135°，
∴∠AOE=135°，∠BAO=45°，
∵∠BAO +∠B=180°，
∴BC//AO，
∴点A,O,D共线，
∴∠ODE=90°。
∵DE=2，∠OED=45°，
∴OE=2$\sqrt{2}$，
∴劣弧$\widehat{AE}$的长为$\frac{135\pi×2\sqrt{2}}{180}=\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}$。]

14. 如图,在正六边形ABCDEF中,M,N分别是边BC,CD上的点,且CM = DN,AM与BN交于点Q.
(1)求证:△ABM≌△BCN;
(2)求∠AQB的度数.

答案：
(1)证明:
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=∠BCN=120°，AB=BC=CD。
∵CM=DN，
∴BC - CM=CD - DN，即BM=CN。在△ABM和△BCN中，$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABM=∠BCN, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(SAS)。
(2)解:由
(1)知△ABM≌△BCN，
∴∠BMA=∠CNB。根据多边形内角和公式，得∠BCN=$\frac{180°×(6 - 2)}{6}$=120°，
∴∠BQM=180°−(∠BMA+∠CBN)=180°−(∠CNB+∠CBN)=∠BCN=120°，
∴∠AQB=180°−∠BQM=60°。

15. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,连接AC,点F是劣弧$\overgroup{CD}$的中点,过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G.
(1)试判断AC与DG的位置关系,并说明理由;
(2)求∠G的度数.

答案： 解:
(1)AC//DG。理由如下:连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=90°。
∵DG与⊙O相切于点D，
∴∠ODG=90°，
∴∠AOD=∠ODG，
∴AC//DG。
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠CAD=45°。
∵点F是劣弧$\widehat{CD}$的中点，
∴$\widehat{DF}=\widehat{CF}$，
∴∠CAF=∠FAD=22.5°。
∵AC//DG，
∴∠G=∠CAF =22.5°。

16. 如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O.
(1)若P是劣弧$\overgroup{CD}$上的动点,连接BP,FP,求∠BPF的度数.
(2)已知△ADF的面积为$2\sqrt{3}$.
①求∠DAF的度数;
②求⊙O的半径.

答案：
解:
(1)如图，在劣弧$\widehat{CD}$上取一点P，连接BP,AP,FP,FO，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB，∠AOF=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠APF=$\frac{1}{2}$∠AOF=30°。
∵AF=AB，
∴∠APB=∠APF=30°，
∴∠BPF=∠APB+∠APF=60°。
(2)①
∵∠AOF=60°，AO=FO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAF=60°。
②
∵∠DAF=60°，
∴DF=$\sqrt{3}$AF，AD=2AF，
∴$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}AF× DF=\frac{\sqrt{3}}{2}AF^2=2\sqrt{3}$，
∴AF=OA=2，即⊙O的半径为2。