《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = \sqrt{2} $,$ BC = 1 $,则 $ \angle B $ 的度数为(B)
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 75^{\circ} $

答案： B

2. 如图,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的高,若 $ BD = 2CD = 6 $,$ \sin \angle DAC = \frac{\sqrt{5}}{5} $,则边 $ AB $ 的长为(D)

A.$ 2 \sqrt{2} $
B.$ 4 \sqrt{2} $
C.$ 3 \sqrt{5} $
D.$ 6 \sqrt{2} $

答案： D[提示:
∵ sin∠DAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴ tan∠DAC=$\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{DC}{AD}$=$\frac{1}{2}$.
∵ CD=3,
∴ AD=6.由勾股定理知$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}$,
∴ AB=$6\sqrt{2}$.]

3. (2023·青海西宁中考) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AB = 12 $,$ \angle A = 42^{\circ} $,则 $ BC $ 的长约为 8.0。(结果精确到 0.1. 参考数据：$ \sin 42^{\circ} \approx 0.67 $,$ \cos 42^{\circ} \approx 0.74 $,$ \tan 42^{\circ} \approx 0.90 $)

答案： 8.0

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 13 $,$ \sin B = \frac{5}{13} $。求 $ AC $ 的长及 $ \angle A $ 的正切值。

答案： 解:在Rt△ABC中,
∵ sin B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{13}$,AB=13,
∴ AC=5.
∴ BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{13^{2}-5^{2}}$=12.
∴ tan A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$.

5. 如图,在 $ 4 × 5 $ 的网格中,每个小正方形的边长都是 1,$ \triangle ABC $ 的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么 $ \sin \angle ACB $ 的值为(D)


A.$ \frac{3 \sqrt{5}}{5} $
B.$ \frac{1}{5} $
C.$ \frac{\sqrt{17}}{5} $
D.$ \frac{4}{5} $

答案： D[提示:过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△ACH中,
∵ AH=4,CH=3,
∴ AC=$\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5,
∴ sin∠ACB=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{4}{5}$.]

6. (2023·烟台招远市期中) 如图,网格中小正方形的边长均为 1,点 $ A $,$ B $,$ O $ 都在格点(小正方形的顶点)上,则 $ \tan \angle AOB $ 的值是 $\frac{1}{3}$。

答案： $\frac{1}{3}$[提示:过点A作AC⊥OB交OB于点C,OB=$\sqrt{2^{2}+4^{2}}$=$2\sqrt{5}$.
∵ $S_{\triangle AOB}$=$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}$·AC·OB,
∴ AC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$.
∵ OA=$2\sqrt{2}$,
∴ OC=$\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{8-\frac{4}{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$,
∴ tan∠AOB=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{1}{3}$.]

7. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ OA $ 过点 $ (2,1) $,直线 $ OA $ 与 $ x $ 轴的夹角为 $ \alpha $,则 $ \tan \alpha $ 的值为(B)

A.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ 2 $
D.$ \sqrt{5} $

答案： B

8. 如图,在平面直角坐标系中,$ P $ 是第一象限的点,其坐标为 $ (x,8) $,且 $ OP $ 与 $ x $ 轴正半轴的夹角 $ \alpha $ 的正切值为 $ \frac{4}{3} $,则 $ x $ 的值为 6。

答案： 6

9. 如图,已知点 $ A(5 \sqrt{3},0) $,直线 $ y = x + b(b ＞ 0) $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ C $、点 $ B $,连接 $ AB $,$ \alpha = 75^{\circ} $,求 $ b $ 的值。

答案： 解:
∵ 直线y=x+b(b＞0)与x轴、y轴分别交于点C、点B,
∴ 点C的坐标是(-b,0),点B的坐标是(0,b),∠BCA=45°.
∵ α=75°,
∴ ∠BAC=75°-45°=30°,
∴ tan 30°=$\frac{b}{5\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得b=5.