《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

7. 如图,$AB与\odot O相切于点B$,$AO的延长线交\odot O于点D$,$E是\overgroup { B C D }上不与B$,$D$重合的点,$\sin A = \frac { 1 } { 2 }$。
(1)求$\angle B E D$的大小；
(2)若$\odot O的半径为3$,点$F在AB$的延长线上,且$BF = 3 \sqrt { 3 }$,求证：$DF与\odot O$相切。
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答案：
(1)解:连接OB,
∵AB与⊙O相切于点B,
∴∠ABO=90°.
∵sinA=1/2,
∴∠A=30°,
∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,
∴∠BED=1/2∠BOD=60°.
(2)证明:连接OF,
∵AB是⊙O的切线,
∴∠OBF=90°.
∵BF=3√3,OB=3,
∴tan∠BOF=BF/OB=√3,
∴∠BOF=60°.
∵∠BOD=120°,
∴∠BOF=∠DOF=60°.在△BOF和△DOF中,
∵OB=OD,∠BOF=∠DOF,OF=OF,
∴△BOF≌△DOF,
∴∠OBF=∠ODF=90°,即OD⊥DF,
∵OD是⊙O的半径,
∴DF与⊙O相切.

8. (2023·天津中考)在$\odot O$中,半径$OC垂直于弦AB$,垂足为$D$,$\angle A O C = 60 ^ { \circ }$,$E为弦AB$所对的优弧上一点。
(1)如图①,求$\angle A O B和\angle C E B$的大小；
(2)如图②,$CE与AB相交于点F$,$EF = EB$,过点$E作\odot O$的切线,与$CO的延长线相交于点G$,若$OA = 3$,求$EG$的长。
①
②

答案： 解:
(1)
∵半径OC垂直于弦AB,
∴弧AC=弧BC,
∴∠BOC=∠AOC=60°,
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=120°,
∵∠CEB=1/2∠BOC,
∴∠CEB=30°.
(2)连接OE,
∵半径OC⊥AB,
∴弧AC=弧BC,
∴∠CEB=1/2∠AOC=30°.
∵EF=EB,
∴∠EFB=∠B=75°,
∴∠DFC=∠EFB=75°,
∴∠DCF=90° - ∠DFC=15°.
∵OE=OC,
∴∠C=∠OEC=15°,
∴∠EOG=∠C+∠OEC=30°.
∵GE切圆于E,
∴∠OEG=90°,
∴tan∠EOG=EG/OE=√3/3,
∵OE=OA=3,
∴EG=√3.