《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

6. 如图,AB,AC是⊙O的两条弦,且$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$ = $\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$.
(1)求证：AO平分∠BAC；
(2)若AB = $4\sqrt{5}$,BC = 8,求半径OA的长.

答案：

(1)证明:如图,连接OB,OC,
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
∴AB=AC,又OC=OB,OA=OA,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠1=∠2,
∴AO平分∠BAC.
(2)解:如图,延长AO交BC于E,
∵AB=AC,AO平分∠BAC,
∴AE⊥BC.设OA=x,可得$AB^2-BE^2=AE^2$,$OB^2=OE^2+BE^2$,可得$(4\sqrt{5})^2-4^2=(x+OE)^2$,$x^2=OE^2+4^2$,解得x=5,OE=3,
∴半径OA的长为5

7. 如图,AB为⊙O的直径,C,D为圆上的两点,OC//BD,弦AD与BC,OC分别交于E,F.
(1)求证：$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$ = $\overset{\LARGE{\frown}}{CD}$；
(2)若CE = 1,EB = 3,求⊙O的半径.

答案：
(1)证明:
∵AB是圆的直径,
∴∠ADB=90°.
∵OC//BD,
∴∠AFO=∠ADB=90°,
∴OC⊥AD,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$.
(2)解:连接AC,
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠CAD=∠ABC.
∵∠ECA=∠ACB,
∴△ACE∽△BCA,
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{AC}$,
∴$AC^2=CE\cdot CB$,即$AC^2=1×(1 + 3)$,
∴AC=2.
∵AB是圆的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
∴$\odot O$的半径为$\sqrt{5}$

8. 如图,在△ABC中,AB = AC,⊙O是△ABC的外接圆,D为劣弧$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$的中点,连接AD并延长交BC的延长线于点E.
(1)求证：AC = CE；
(2)连接DO并延长交直线BC于点F,若BF = CE,试画出图形并直接写出∠BAC的度数.

答案：

(1)证明:如图①,连接BD,CD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵D是劣弧$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ABD=∠CAD,
∴∠ABC - ∠ABD=∠ACB - ∠CAD.
∵∠DBE=∠ABC - ∠ABD,∠E=∠ACB - ∠CAD,
∴∠DBE=∠E,
∵∠DBE=∠CAE,
∴∠E=∠CAE,
∴AC=CE.
(2)解:如图②即为所求,∠BAC=36°.理由如下:连接AF,BD,
∵BF=CE,
∴BF+BC=CE+BC,
∴CF=BE.
∵∠ABF+∠ABC=180°,∠ACE+∠ACB=180°,且∠ABC=∠ACB,
∴∠ABF=∠ACE;在△ABF和△ACE中,$\begin{cases}AB=AC\\\angle ABF=\angle ACE\\BF=CE\end{cases}$,
∴△ABF≌△ACE,
∴AF=AE.
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴OD垂直平分AC,
∴AF=CF=BE,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠ABE,
∴∠BAC+∠CAD=∠ABD+∠CBD =∠ABD+∠CAD,
∴∠BAC=∠ABD=∠CAD=∠E.
∵∠BAE+∠ABE+∠E=180°,∠BAE=∠ABE=2∠BAC,
∴2∠BAC+2∠BAC+∠BAC=180°,
∴∠BAC=36°

9. 如图(1),已知△ABC,AB = AC,以边AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连接DE.
(1)求证：DE = DC.
(2)如图(2),连接OE,将∠EDC绕点D逆时针旋转,使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F,AC的延长线于点G. 试探究线段DF,DG的数量关系.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABDE内接于$\odot O$,
∴∠B+∠AED=180°.
∵∠DEC+∠AED=180°,
∴∠DEC=∠B.
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠DEC=∠C,
∴DE=DC.
(2)解:DF =DG.理由如下:
∵四边形ABDE内接于$\odot O$,
∴∠A+∠BDE=180°.
∵∠EDC+∠BDE=180°,
∴∠A=∠EDC.
∵OA=OE,
∴∠A=∠OEA.
∵∠OEA=∠CEF,
∴∠A=∠CEF,
∴∠EDC=∠CEF.
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°,
∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°,即∠DEF+∠DCE =180°.又
∵∠DCG+∠DCE=180°,
∴∠DEF=∠DCG.
∵∠EDC旋转得到∠FDG,
∴∠EDC=∠FDG.
∴∠EDC - ∠FDC=∠FDG - ∠FDC,即∠EDF=∠CDG.
∵DE=DC,
∴△EDF≌△CDG,
∴DF=DG