《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

8. 如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),$ DE \perp AB $于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是半圆O切线的是(C)

A.$ \angle E = \angle CFE $
B.$ \angle E = \angle ECF $
C.$ \angle ECF = \angle EFC $
D.$ \angle ECF = 60° $

答案： C[提示:连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵DE⊥AB,
∴∠BDF=90°,
∴∠B+∠DFB=90°.
∵∠EFC=∠BFD,
∴∠B+∠EFC=90°.
∵∠ECF=∠EFC,
∴∠OCB+∠ECF =90°,
∴CE是半圆O的切线.]

9. 如图,已知$ \angle AOB = 30° $,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作⊙M,当$ OM = $4 cm时,⊙M与OA相切。

答案： 4[提示:作MH⊥OA于点H,当MH=2cm时,⊙M与OA相切,
∵∠AOB=30°,
∴OM=2MH=4cm,即当OM=4cm 时,⊙M与OA相切.]

10. 如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为$ (-3,0) $,将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移,使⊙P与y轴相切,则平移的时间为2秒或10秒。

答案： 2秒或10[提示:当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5.故平移的时间为2秒或10秒.]

11. 如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使$ DC = BD $,连接AC,过点D作$ DE \perp AC $于E。
(1)求证：$ AB = AC $；
(2)求证：DE为⊙O的切线。
]

答案：
(1)证明:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.又
∵DC=BD,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC.
(2)连接OD,
∵OA=OB,CD=BD,
∴OD//AC,
∴∠ODE=∠CED.又
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE,又
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.

12. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ABC = 90° $,CD平分$ \angle ACB $交AB于点D,以点D为圆心,BD为半径作⊙D交AB于点E。
(1)求证：⊙D与AC相切；
(2)若$ AC = 5 $,$ BC = 3 $,求AE的长。
]

答案：
(1)证明:过D作DF⊥AC于F,
∵∠B=90°,
∴AB⊥BC.
∵CD平分∠ACB交AB于点D,
∴BD=DF,
∴⊙D与AC 相切.
(2)解:设⊙D的半径为x,
∵∠B=90°,BC=3,AC =5,
∴AB= $\sqrt{AC²−BC²}$=4.
∵AC,BC是⊙D的切线,
∴∠DBC=∠DFC=90°.
∵DB=DF,DC=DC,
∴Rt△DBC ≌Rt△DFC,
∴BC=CF=3,
∴AF=AC−CF=2.
∵AB=4,
∴AD=AB−BD=4−x.在Rt△AFD中,(4−x)²=x²+2²,解得x=$\frac{3}{2}$,
∴AE=4 - 3 = 1.

13. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,过点A作$ AE \perp CD $,交CD的延长线于点E,DA平分$ \angle BDE $。
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知$ AE = 4 cm $,$ CD = 6 cm $,求⊙O的半径。
]

答案：
(1)证明:如图,连接OA,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE,
∴∠ODA=∠EDA,
∴∠OAD=∠EDA,
∴EC//OA.
∵AE⊥CD,
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上,
∴AE 是⊙O的切线.
(2)解:如图,过点O作OF⊥CD,垂足为点F,
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°,
∴四边形AOFE是矩形,
∴OF=AE=4cm.又
∵OF⊥CD,
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=3cm.在Rt△ODF中,OD= $\sqrt{OF²+DF²}$=5cm,即⊙O的半径为5cm.