《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

14. 如图,有一锐角为$30^{\circ}$的三角尺,它的内外两个三角形是相似的。三角尺的斜边长为$12\ cm$,其内部三角形的最短边长为$3\ cm$,则这个三角尺内外两个三角形的面积比为(D)

A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$

答案： D[提示:如图,由题意，知AC=$\frac{1}{2}$AB=6cm,
∵内部三角形的最短边长为3cm,即DF=3cm,
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$.
∵△ABC∽△DEF,
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}$=${(\frac{1}{2})}^2$=$\frac{1}{4}$.]

15. 如图,顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“$×$”(作业本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等),$A$,$B$,$C$,$D$,$O$都在横格线上,且线段$AD$,$BC交于点O$。若线段$AB = 4\ cm$,则线段$CD$的长为(C)

A.$4\ cm$
B.$5\ cm$
C.$6\ cm$
D.$8\ cm$

答案： C[提示:如图,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,则OE,OF分别是△AOB,△DOC的高线.
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC,
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{OE}{OF}$,即$\frac{4}{CD}$=$\frac{2}{3}$,
∴CD=6cm.]

16. 如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔$5$米有一棵树,在北岸边每隔$50$米有一根电线杆,小丽站在离南岸边$15米的点P$处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为______。

22.5米

答案： 22.5米[提示:如图,由题意可知AB=5×4=20(米),CD=50米,PE=15米.
∵AB//CD,
∴△PAB∽△PCD,
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{AB}{CD}$,
∴$\frac{15}{15+EF}$=$\frac{20}{50}$,解得EF=22.5米,
∴河宽为22.5米.]

17. $20世纪90$年代以来,我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展,户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上,面向密集的车流和人流。某天,小芳走到如图所示的$C$处时,看到正对面一条东西走向的笔直公路上有一辆汽车从东面驶来,到达$Q$处时,恰好被公路北侧边上竖着的一个长$12\ m的广告牌AB$完全挡住,$3\ s后在P$处又重新看到该汽车的全部车身。已知该汽车的行驶速度是$21.6\ km/h$,假设$AB // PQ$,公路宽为$10\ m$,求小芳所在$C处到公路南侧PQ$的距离。

答案： 解:设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm,21.6km/h=6m/s,
∵AB//PQ,
∴△CAB∽△CPQ,
∴$\frac{AB}{PQ}$=$\frac{x−10}{x}$,
∴$\frac{12}{6×3}$=$\frac{x−10}{x}$,
∴x=30,
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m.

18. 如图,$□ ABCD$中,$E是CD$的延长线上一点,$BE与AD交于点F$,$DE = \frac{1}{2}CD$。
(1) 求证：$\triangle ABF \backsim \triangle CEB$；
(2) 若$\triangle DEF的面积为2$,求$□ ABCD$的面积。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C,AB//CD.
∴∠ABF=∠CEB,
∴△ABF∽△CEB.　　
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//CD,
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
∵DE=$\frac{1}{2}$CD,
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle CEB}}$=${(\frac{DE}{EC})}^2$=$\frac{1}{9}$,$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABF}}$=${(\frac{DE}{AB})}^2$=$\frac{1}{4}$.
∵S△DEF=2,
∴S△CEB=18,S△ABF=8,
∴S四边形BCDF=S△CEB−S△DEF=16.
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.

19. 操作：
如图,在正方形$ABCD$中,$P是CD$上一动点(与$C$,$D$不重合),使三角板的直角顶点与点$P$重合(含$30^{\circ}$角的直角三角板),并且一条直角边始终经过点$B$,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点$E$。
探究：
(1) 观察操作结果,哪一个三角形与$\triangle BPC$相似？写出你的结论,并说明理由。
(2) 当点$P位于CD$的中点时,你找到的三角形与$\triangle BPC$的周长比和面积比分别是多少？

答案： 解:分两种情况:
(1)如图①.
∵∠BPE=90°,
∴∠BPC+∠DPE=90°.又∠BPC+∠PBC=90°,
∴∠PBC=∠DPE.又∠C=∠D=90°,
∴△BPC∽△PED.如图②,同理可证△BPC∽△BEP∽△PEC.　　
(2)如图①.
∵△BPC∽△PED,
∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比，即PD与BC的比.
∵点P位于CD的中点，
∴PD与BC的比为1:2.
∴△PED与△BPC的周长比为1:2,△PED与△BPC的面积比为1:4.如图②.
∵△BPC∽△BEP,
∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比，即BP与BC的比.
∵点P位于CD的中点，设BC=2k,则PC=k,BP=$\sqrt{5}$k,
∴BP与BC的比为$\sqrt{5}$:2,△BEP与△BPC的周长比为$\sqrt{5}$:2,△BEP与△BPC的面积比为5:4.
∵△PEC∽△BPC,
∴△PEC与△BPC的周长比等于对应边的比，即PC与BC的比,为1:2,
∴△PEC与△BPC的周长比为1:2,△PEC与△BPC的面积比为1:4.