《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. 下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是(B)
A.都含有一个$60^{\circ}$的内角
B.都含有一个$45^{\circ}$的内角
C.都含有一个$90^{\circ}$的内角
D.都含有一个$120^{\circ}$的内角

答案： B

2. 如图,已知$D是\triangle ABC的边BC$上的一点,$\angle BAD= \angle C$,$\angle ABC的平分线交边AC于E$,交$AD于F$,那么下列三角形中与$\triangle BDF$一定相似的是(C)

A.$\triangle BAC$
B.$\triangle BEC$
C.$\triangle BAE$
D.$\triangle BFA$

答案： C[提示:
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE=∠CBE.
∵ ∠BAD=∠C,
∴ △BFA∽△BEC,
∴ ∠BFA=∠BEC,
∴ ∠BFD=∠BEA.
∵ ∠ABE=∠CBE,
∴ △BDF∽△BAE.]

3. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F分别在AD$,$CD$上,且$BE\perp FE$,则图中的三角形①,②,③,④一定相似的是(B)

A.①和②
B.①和③
C.②和④
D.①,②和③

答案： B[提示:在矩形 ABCD 中,∠A=∠D=90°.
∵ EF⊥BE,
∴ ∠AEB+∠DEF=90°.
∵ ∠DEF+∠DFE=90°,
∴ ∠AEB =∠DFE,
∴ △ABE∽△DEF.]

4. (易错题)如图,已知$\angle B= \angle D = 90^{\circ}$,请添加一个条件∠BAC=∠DCE(答案不唯一)(不添加字母及辅助线)使$\triangle ABC与\triangle CDE$相似。

答案： ∠BAC=∠DCE(答案不唯一)

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 80^{\circ}$,$\angle BAC = 40^{\circ}$,$AB的垂直平分线分别与AC$,$AB交于点D$,$E$,连接$BD$。求证：$\triangle ABC\backsim\triangle BDC$。

答案： 证明:
∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ AD=BD.
∵ ∠BAC=40°,
∴ ∠ABD=40°.
∵ ∠ABC=80°,
∴ ∠DBC=40°,
∴ ∠DBC=∠BAC.
∵ ∠C=∠C,
∴ △ABC∽△BDC.

6. 如图,线段$AB$,$CD相交于点O$,$AC// BD$,若$OA = 6$,$OC = 3$,$OD = 2$,则$OB$的长是(B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B

7. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$DE// BC$,$\angle BDC= \angle CED$,如果$DE = 4$,$CD = 6$,那么$\frac{AD}{AE}$等于(C)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： C[提示:
∵ DE//BC,
∴ ∠EDC=∠BCD,$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{EC}$.
∵ ∠BDC=∠DEC,
∴ △BDC∽△CED,
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{DC}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$,
∴ $\frac{AD}{AE}=\frac{3}{2}$.]

8. 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle C= \angle AED = 90^{\circ}$,点$E在线段AB$上,$AD// CB$,若$AC = AE = 2$,$BC = 3$,则$DE$的长为$\frac{4}{3}$。

答案： $\frac{4}{3}$[提示:
∵ AD//CB,
∴ ∠B=∠DAE.
∵ ∠C=∠AED=90°,
∴ △ACB∽△DEA,
∴ AC:DE=BC:AE,即2:DE=3:2,
∴ DE=$\frac{4}{3}$.]

9. (2023·济南天桥区校级月考)如图,$\angle B= \angle ACD$,$AC = 4\ cm$,$AD = 3\ cm$,求$AB$的长。

答案： 解:
∵ ∠A=∠A,∠B=∠ACD,
∴ △ABC∽△ACD,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$.
∵ AC=4cm,AD=3cm,
∴ AB=$\frac{4×4}{3}=\frac{16}{3}$(cm).

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD$为角平分线,$DE\perp AB$,垂足为$E$。
(1)写出图中一对全等三角形和一对不全等的相似三角形；
(2)选择(1)中一对加以证明。

答案：
(1)解:△ADE≌△BDE,△ABC∽△BDC.
(2)证明:①
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ ∠ABC=∠C=72°.
∵ BD 为角平分线,
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A.在△ADE 和△BDE 中,
∵ ∠A=∠DBA,∠AED=∠BED,ED=ED,
∴ △ADE≌△BDE.②
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ ∠ABC=∠C=72°.
∵ BD 为角平分线,
∴ ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A.
∵ ∠C=∠C,
∴ △ABC∽△BDC.