《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,则点$O是\triangle ABC$的(B)

A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点

答案： B

2. 如图,$\triangle ABC是一张周长为18\mathrm{cm}$的三角形纸片,$BC = 5\mathrm{cm}$,$\odot O$是它的内切圆,小明准备用剪刀在$\odot O的右侧沿着与\odot O相切的任意一条直线MN剪下\triangle AMN$,则剪下的三角形的周长为(B)

A.$13\mathrm{cm}$
B.$8\mathrm{cm}$
C.$6.5\mathrm{cm}$
D.随直线$MN$的变化而变化

答案： B

3. 如图,$\odot O是\mathrm{Rt}\triangle ABC$的内切圆,$\angle BCA = 90^{\circ}$,点$D$,$E$,$F分别为AC$,$BC$,$AB与\odot O$的切点,点$P是\overset{\frown}{EPD}$上任意一点(不与点$E$,$D$重合),则$\angle EPD$的度数为(B)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： B

4. 如图,已知$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,$AC$,$BC$,$AB的切点分别是D$,$E$,$F$,若$CD = 5$,则$CE$的长为5。

答案： 5

5. 如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O与BC$,$CA$,$AB分别相切于点D$,$E$,$F$,且$AB = 5$,$BC = 7$,$CA = 6$,求$AF$,$BD$,$CE$的长。

答案： 解：
∵△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,
∴AF=AE,BF=BD,CD=CE.设AF=AE=x,则BF=BD=5 - x,EC=DC=6 - x.根据题意,得5 - x+6 - x=7,解得x=2.
∴AF=2,BD=5 - x=5 - 2=3,EC=6 - x=4,
∴AF=2,BD=3,EC=4.

6. 已知三角形内的一个点到它的三边距离相等,那么这个点是(C)
A.三角形的外心
B.三角形的重心
C.三角形的内心
D.三角形的垂心

答案： C

7. (2023·日照莒县期中)如图,点$O是\triangle ABC$外接圆的圆心,点$I是\triangle ABC$的内心,连接$OB$,$IA$.若$\angle CAI = 38^{\circ}$,则$\angle OBC$的度数为(B)

A.$15^{\circ}$
B.$14^{\circ}$
C.$35.5^{\circ}$
D.$38^{\circ}$

答案： B[提示:连接OC,
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC.
∵∠CAI=38°,
∴∠BAC=2∠CAI=76°.
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=152°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$×(180° - ∠BOC)=$\frac{1}{2}$×(180° - 152°)=14°.]

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 80^{\circ}$,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,与边$BC$,$AC分别相切于点D$,$E$,$BO的延长线交DE于点F$,则$\angle BFD = $40°。

答案： 40°[提示:如图,连接OD,OE,OC,OC交ED于点G,
∵∠A =80°,
∴∠ABC+∠ACB=100°.
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC+∠OCB=50°,
∴∠COB=130°.
∵OE=OD,CD=CE,
∴OC垂直平分DE，
∴∠OGE=90°,
∴∠BFD =∠COB - ∠OGF=130° - 90°=40°.]

9. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$AB为\odot O$的直径,$I为\triangle ABC$的内心,连接$OI$,$AI$,$BI$.若$OI\perp BI$,$OI = 1$,则$AB$的长为______。

2$\sqrt{5}$

答案： 2$\sqrt{5}$[提示:如图,延长BI交⊙O于M点,连接MA,在△ABM中,斜边AB经过圆心O,
∴∠AMB=90°.又
∵BI⊥OI,AO=OB,
∴OI为△AMB的中位线,
∴AM=2OI=2.在Rt△ABC中,I为三个角平分线的交点,
∴∠IAB+∠IBA=45°,即∠MIA=45°,
∴Rt△MAI为等腰直角三角形,
∴MA =MI=IB=2.根据勾股定理得AB²=MA²+MB²=2²+4²=20,即AB=2$\sqrt{5}$]

10. 如图,点$O是\triangle ABC$的内心,$AO的延长线和\triangle ABC的外接圆相交于点D$,连接$CD$.求证：$OD = CD$.

答案： 证明:连接OC,
∵点O是△ABC的内心,
∴∠CAD=∠BAD,∠OCA=∠OCB.
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB,∠DCO=∠BCD+∠OCB,
∴∠COD=∠DCO,
∴OD=CD.