《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

10. 如图,在正方形网格上,与△ABC相似的三角形是(A)

A.△AFD
B.△AED
C.△FED
D.不能确定

答案： A[提示:设每个小正方形的边长为1,则$AF=4$,$DF=4\sqrt{2}$,$AB=2$,$BC=2\sqrt{2}$,$\therefore\frac{AF}{AB}=\frac{DF}{BC}=2$.$\because\angle AFD=\angle ABC=135°$,$\therefore\triangle AFD\backsim\triangle ABC$.]

11. 如图,D是△ABC边AB上一点,添加一个条件后,仍不能使△ACD∽△ABC的是(C)

A.∠ACD= ∠B
B.∠ADC= ∠ACB
C.$\frac{AD}{AC}= \frac{CD}{BC}$
D.$AC^{2}= AD\cdot AB$

答案： C

12. 如图,在△ABC中,AB= 8,BC= 16,AP= BP,点Q是BC边上一个动点,当BQ= 2或8时,△BPQ与△BAC相似.

答案： 2或8[提示:$\because AB=8$,$BC=16$,$AP=BP$,$\therefore BP=4$.当$\triangle BPQ\backsim\triangle BAC$时,则$\frac{BP}{AB}=\frac{BQ}{BC}$,$\therefore\frac{4}{8}=\frac{BQ}{16}$,解得$BQ=8$;当$\triangle BPQ\backsim\triangle BCA$时,则$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$,$\therefore\frac{4}{16}=\frac{BQ}{8}$,解得$BQ=2$.综上,当$BQ=2$或8时,$\triangle BPQ$与$\triangle BAC$相似.]

13. 如图,线段A'B'是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形(旋转角小于180°).
(1)用直尺和圆规作点O(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)连接OA,OA',AA',OB,OB',BB',求证：△OAA'∽△OBB'.

答案：

(1)解:如图
(1)，点O即为所求.　　
(2)证明:如图
(2),连接$OA$,$OA'$,$AA'$,$OB$,$OB'$,$BB'$,$\because$线段$A'B'$为线段$AB$绕点O逆时针旋转后的图形,$\therefore OA=OA'$,$OB=OB'$,$\angle AOA'=\angle BOB'$,$\therefore\frac{OA}{OB}=\frac{OA'}{OB'}$,$\therefore\triangle OAA'\backsim\triangle OBB'$.
　　 　　　

14. 如图,△ABC中,AB= 2,BC= 4,D为BC边上一点,BD= 1.
(1)求证：△ABD∽△CBA；
(2)若DE$//$AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并求出DE的长.

答案：
(1)证明:$\because AB=2$,$BC=4$,$BD=1$,$\therefore\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$.$\because\angle ABD=\angle CBA$,$\therefore\triangle ABD\backsim\triangle CBA$.　　
(2)解:作$DE// AB$交$AC$于E,则$\angle CDE=\angle B$.$\because\angle DCE=\angle BCA$,$\therefore\triangle CDE\backsim\triangle CBA$,$\therefore\triangle ABD\backsim\triangle CDE$,$\therefore\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{DE}$,$\frac{2}{3}=\frac{1}{DE}$,解得$DE=\frac{3}{2}$.

15. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是斜边AB上的中点,E是边BC上的点,AE与CD交于点F,且$AC^{2}= CE\cdot CB$.
(1)求证：AE⊥CD；
(2)连接BF,如果点E是BC的中点,求证：∠EBF= ∠EAB.

答案： 证明:
(1)$\because AC^2=CE\cdot CB$,$\therefore\frac{AC}{CE}=\frac{CB}{AC}$.$\because\angle ACB=\angle ECA=90°$,$\therefore\triangle ACB\backsim\triangle ECA$,$\therefore\angle ABC=\angle EAC$.$\because$点D是AB的中点,$\therefore CD=AD$,$\therefore\angle ACD=\angle CAD$.$\because\angle CAD+\angle ABC=90°$,$\therefore\angle ACD+\angle EAC=90°$,$\therefore\angle AFC=90°$,$\therefore AE\perp CD$.　　
(2)$\because AE\perp CD$,$\therefore\angle EFC=90°$,$\therefore\angle ACE=\angle EFC$.$\because\angle AEC=\angle CEF$,$\therefore\triangle ECF\backsim\triangle EAC$,$\therefore\frac{EC}{EA}=\frac{EF}{EC}$.$\because$点E是BC的中点,$\therefore CE=BE$,$\therefore\frac{BE}{EA}=\frac{EF}{BE}$.$\because\angle BEF=\angle AEB$,$\therefore\triangle BEF\backsim\triangle AEB$,$\therefore\angle EBF=\angle EAB$.