《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

1. 将$(a - 1)^2 - 1$分解因式,结果正确的是( )

A.$a(a - 1)$
B.$a(a - 2)$
C.$(a - 2)(a - 1)$
D.$(a - 2)(a + 1)$

答案： B

2. 下列因式分解中,正确的个数为( )
①$x^3 + 2xy + x= x(x^2 + 2y)$；②$x^2 + 4x + 4= (x + 2)^2$；③$-x^2 + y^2= (x + y)(x - y)$。

A.3
B.2
C.1
D.0

答案： C

3. 设$M= \frac{1}{3}a(a + 1)(a + 2)$,$N= \frac{1}{3}a(a - 1)(a + 2)$,那么$M - N= $( )

A.$\frac{1}{3}(a + 1)(a + 2)$
B.$\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2}a$
C.$(a + 1)(a + 2)$
D.$\frac{2}{3}a^2 + \frac{4}{3}a$

答案： D

4. $5 - (a - b)^2$的最大值是______,当$5 - (a - b)^2$取最大值时,$a与b$的关系是______。

答案： 5　a=b

5. 计算：$2019×2021 - 2020^2= $______。

答案： −1

6. 已知$a^2 + 3a + 1 = 0$,则$a + \frac{1}{a}= $______,$a^2 + \frac{1}{a^2}= $______,$a^3 + \frac{1}{a^3}= $______,$a^4 + \frac{1}{a^4}= $______。

答案： −3　7　−18　47

7. 已知$x≠1$,计算$(1 + x)(1 - x)= 1 - x^2$,$(1 - x)(1 + x + x^2)= 1 - x^3$,$(1 - x)(1 + x + x^2 + x^3)= 1 - x^4$。
(1)观察以上各式并猜想：$(1 - x)(1 + x + x^2 + … + x^n)= $______。($n$为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①$(1 - 2)(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5)= $______。
②$2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^n= $______。($n$为正整数)
③$(x - 1)(x^{99} + x^{98} + x^{97} + … + x^2 + x + 1)= $______。
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①$(a - b)(a + b)= $______。
②$(a - b)(a^2 + ab + b^2)= $______。
③$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)= $______。

答案：
(1)1 - x^{n + 1}
(2)①−63　提示:原式=1 - 2^{6}=−63.
②2^{n + 1}-2
提示:原式=2(1 + 2 + 2²+...+ 2^{n - 1})
=-2(1 - 2)(1 + 2 + 2²+...+ 2^{n - 1})
=-2(1 - 2^{n})
=2^{n + 1}-2.
③−1 + x^{100}
提示:原式=-(1 - x)(x^{99}+ x^{98}+ x^{97}+...+ x²+ x + 1)
=-1 + x^{100}.
(3)①a² - b²　②a³ - b³　③a^{4}- b^{4}

8. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题。初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释。
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式。
证明：将一个边长为$a的正方形的边长增加b$,形成两个矩形和两个正方形,如图①,这个图形的面积可以表示成：$(a + b)^2或a^2 + 2ab + b^2$,所以$(a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2$。这就验证了两数和的完全平方公式。

类比解决：
(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式。(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出：如何利用图形的几何意义的方法证明：$1^3 + 2^3= 3^2$？
如图②,$A$表示1个$1×1$的正方形,即$1×1×1= 1^3$；$B$表示1个$2×2$的正方形,$C与D$恰好可以拼成1个$2×2$的正方形,因此,$B$、$C$、$D$就可以表示2个$2×2$的正方形,即$2×2×2= 2^3$；而$A$、$B$、$C$、$D恰好可以拼成一个(1 + 2)×(1 + 2)$的大正方形。由此可得$1^3 + 2^3= (1 + 2)^2= 3^2$。
(2)尝试解决：请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定：$1^3 + 2^3 + 3^3= $______。(要求写出结论并构造图形写出推证过程)
(3)问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：$1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3= $______。(直接写出结论即可,不必写出解题过程)

答案：

(1)如图①,阴影部分的面积是a² - b²,
如图②,阴影部分的面积是(a + b)(a - b),
所以a² - b²=(a + b)(a - b),
这就验证了平方差公式

(2)如图③,A表示1个1×1的正方形,即1×1×1 = 1³;
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此,B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即2×2×2 = 2³;
G与H,E与F,I可以表示3个3×3的正方形,即3×3×3 = 3³;
而整个图形恰好可以拼成一个(1 + 2 + 3)×(1 + 2 + 3)的大正方形.
由此可得1³+ 2³+ 3³=(1 + 2 + 3)² = 6².

(3)[$\frac{1}{2}$n(n + 1)]²