《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 运用立方和或立方差公式分解因式：
(1)$x^{3}-27$；(2)$\frac{1}{8}a^{3}+b^{3}$；
(3)$m^{6}-2m^{3}n^{3}+n^{6}$；(4)$x^{6}-y^{6}$；
(5)$x^{3n}-y^{3n}$；(6)$x^{3}-7x+6$.
【分析】 观察题目的结构特点,可以直接运用立方和或立方差公式的有(1)(2)(4)(5),其中第(4)题要注意分解因式的彻底性,第(3)题先用完全平方公式,再用立方差公式,第(6)题将原式拆成$x^{3}-1-7x+7$,然后前两项利用立方差公式因式分解,后两项提取公因式即可.
【解答】(1)原式$=x^{3}-3^{3}$
$=(x-3)(x^{2}+3x+9)$.
(2)原式$=(\frac{1}{2}a)^{3}+b^{3}$
$=(\frac{1}{2}a+b)(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}ab+b^{2})$.
(3)原式$=(m^{3}-n^{3})^{2}$
$=[(m-n)(m^{2}+mn+n^{2})]^{2}$
$=(m-n)^{2}(m^{2}+mn+n^{2})^{2}$.
(4)方法一：
原式$=(x^{3})^{2}-(y^{3})^{2}$
$=(x^{3}+y^{3})(x^{3}-y^{3})$
$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$.
方法二：
原式$=(x^{2})^{3}-(y^{2})^{3}$
$=(x^{2}-y^{2})(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4})$
$=(x+y)(x-y)[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]$
$=(x+y)(x-y)(x^{2}+y^{2}-xy)(x^{2}+y^{2}+xy)$.
(5)原式$=(x^{n})^{3}-(y^{n})^{3}$
$=(x^{n}-y^{n})(x^{2n}+x^{n}y^{n}+y^{2n})$.
(6)原式$=x^{3}-1-7x+7$
$=(x-1)(x^{2}+x+1)-7(x-1)$
$=(x-1)(x^{2}+x-6)$
$=(x-1)(x+3)(x-2)$.

答案：
(1)解：原式$=x^{3}-3^{3}$
$=(x-3)(x^{2}+3x+9)$。
(2)解：原式$=(\frac{1}{2}a)^{3}+b^{3}$
$=(\frac{1}{2}a+b)(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}ab+b^{2})$。
(3)解：原式$=(m^{3}-n^{3})^{2}$
$=[(m-n)(m^{2}+mn+n^{2})]^{2}$
$=(m-n)^{2}(m^{2}+mn+n^{2})^{2}$。
(4)解：方法一：
原式$=(x^{3})^{2}-(y^{3})^{2}$
$=(x^{3}+y^{3})(x^{3}-y^{3})$
$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$。
方法二：
原式$=(x^{2})^{3}-(y^{2})^{3}$
$=(x^{2}-y^{2})(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4})$
$=(x+y)(x-y)[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]$
$=(x+y)(x-y)(x^{2}+y^{2}-xy)(x^{2}+y^{2}+xy)$。
(5)解：原式$=(x^{n})^{3}-(y^{n})^{3}$
$=(x^{n}-y^{n})(x^{2n}+x^{n}y^{n}+y^{2n})$。
(6)解：原式$=x^{3}-1-7x+7$
$=(x-1)(x^{2}+x+1)-7(x-1)$
$=(x-1)(x^{2}+x-6)$
$=(x-1)(x+3)(x-2)$。