《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

1. 关于x的方程$ax^2 - (3a + 1)x + 2(a + 1)= 0有两个不相等的实根x_1,x_2$,且$x_1 - x_1x_2 + x_2= 1 - a$,则a的值是 ( )

A.1
B.-1
C.1或-1
D.2

答案： B

2. 已知m,n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2tx + t^2 - 2t + 4= 0$的两实数根,则$(m + 2)(n + 2)$的最小值是 ( )

A.7
B.11
C.12
D.16

答案： D

3. 已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于点O,且OA,OB的长分别是关于x的方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 + 3= 0$的根,则m= ( )

A.-3
B.5
C.5或-3
D.-5或3

答案： A

4. 若关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c= 0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法正确的是 ( )
① 方程$x^2 - x - 2= 0$是倍根方程；
② 若$(x - 2)(mx + n)= 0$是倍根方程,则$4m^2 + 5mn + n^2= 0$；
③ 若点$(p,q)在反比例函数y= \frac{2}{x}$的图像上,则关于x的方程$px^2 + 3x + q= 0$是倍根方程；
④ 若方程$ax^2 + bx + c= 0$是倍根方程,且相异两点$M(1 + t,s),N(4 - t,s)都在抛物线y= ax^2 + bx + c$上,则方程$ax^2 + bx + c= 0的一个根为\frac{5}{4}$.

A.①②
B.②③
C.③④
D.①②③④

答案： B

5. 已知a,b是一元二次方程$x^2 - 2x - 1= 0$的两个实数根,则代数式$(a - b)(a + b - 2) + ab$的值等于______.

答案： -1

6. 已知实数a,b,c满足$a= 6 - b$,$c^2= ab - 9$,则a= ______,b= ______,c= ______.

答案： 3 3 0

7. 如果关于x的方程$x^2 + kx + \frac{3}{4}k^2 - 3k + \frac{9}{2}= 0的两个实数根分别为x_1,x_2$,那么$\frac{x_1^{2018}}{x_2^{2019}}$的值为______.

答案： $-\frac{2}{3}$

8. 已知关于x的方程$x^2 + 2(a - 1)x + a^2 - 7a - 4= 0的两根为x_1,x_2$,且满足$x_1x_2 - 3x_1 - 3x_2 - 2= 0$,求$(1 + \frac{4}{a^2 - 4}) \cdot \frac{a + 2}{a}$的值.

答案： 因为关于x的方程$x^{2}+2(a-1)x+a^{2}-7a-4=0$有两根$x_{1},x_{2}$,所以
$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2-2a,\\ x_{1}\cdot x_{2}=a^{2}-7a-4,\\ \Delta=4(a-1)^{2}-4(a^{2}-7a-4)\geq0,\end{array}\right.$即$a\geq-1$.
因为$x_{1}x_{2}-3x_{1}-3x_{2}-2=0$,
即$x_{1}\cdot x_{2}-3(x_{1}+x_{2})-2=0$,
所以$a^{2}-7a-4-3(2-2a)-2=0$,解得$a_{1}=-3,a_{2}=4$.
因为$a\geq-1$,所以$a=4$.
把$a=4$代入$(1+\frac{4}{a^{2}-4})\cdot\frac{a+2}{a}$,
得$(1+\frac{4}{16-4})×\frac{4+2}{4}=\frac{4}{3}×\frac{6}{4}=2$.