《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

9. 已知关于x的方程$(m^2 - 1)x^2 - 3(3m - 1)x + 18= 0$有两个正整数根(m是正整数).$\triangle ABC$的三边a,b,c满足$c= 2\sqrt{3}$,$m^2 + a^2m - 8a= 0$,$m^2 + b^2m - 8b= 0$.
(1)求m的值；
(2)求$\triangle ABC$的面积.

答案： （1）因为关于x的方程$(m^{2}-1)x^{2}-3(3m-1)x+18=0$有两个正整数根(m是正整数),
所以$\Delta=(9m-3)^{2}-72(m^{2}-1)=9(m-3)^{2}\geq0$.
设$x_{1},x_{2}$是此方程的两个根,
所以$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{18}{m^{2}-1}$,所以$\frac{18}{m^{2}-1}$也是正整数,
即$m^{2}-1=1$或2或3或6或9或18,
又m为正整数,所以$m=2$.
（2）把$m=2$代入两等式,化简得
$a^{2}-4a+2=0,b^{2}-4b+2=0$,
当$a=b$时,$a=b=2\pm\sqrt{2}$;
当$a\neq b$时,a,b是方程$x^{2}-4x+2=0$的两根,
$\Delta＞0$,由韦达定理得$a+b=4＞0,ab=2＞0$,则$a＞0,b＞0$.
①$a\neq b,c=2\sqrt{3}$时,由于$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=16-4=12=c^{2}$,
故$\triangle ABC$为直角三角形,且$\angle C=90^{\circ},S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=1$.
②$a=b=2-\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$时,因为$2(2-\sqrt{2})＜2\sqrt{3}$,故不能构成三角形,不合题意,舍去.
③$a=b=2+\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$时,因为$2(2+\sqrt{2})＞2\sqrt{3}$,故能构成三角形,
此时$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3})×\sqrt{3+4\sqrt{2}}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$.
综上,$\triangle ABC$的面积为1或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$.

1. 已知关于x的方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2= 0有两个实数根x_1,x_2$.
(1)求k的取值范围；
(2)若$|x_1 + x_2|= x_1x_2 - 1$,求k的值.

答案： （1）$k\leq\frac{1}{2}$ （2）$k=-3$

2. 如图,已知在$\triangle ABC$中,若边AC和BC的长是关于x的方程$x^2 - (AB + 4)x + 4AB + 8= 0$的两个根,且$25BC \cdot \sin A= 9AB$.求$\triangle ABC$三边的长.

答案： 依题意得$AC+BC=AB+4$,①
$AC\cdot BC=4AB+8$,②
由①$^{2}-2×$②,得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
所以$\triangle ABC$是直角三角形,且$\angle C=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$中,$\sin A=\frac{BC}{AB}$.
由题意得$\sin A\cdot\frac{BC}{AB}=\frac{9}{25}$,
因为$\angle A$是$Rt\triangle ABC$的锐角,
所以$\sin A＞0$,
所以$\sin A=\frac{3}{5}$,
所以$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$.
设$BC=3k,AB=5k$,由勾股定理得$AC=4k$,
结合①式得$4k+3k=5k+4$,解得$k=2$.
所以$BC=6,AB=10,AC=8$.

3. 已知关于x的方程$x^2 + bx + 1= 0的两实根为\alpha,\beta$.
(1)能否确定$\alpha^2 + \beta^2$与2的大小关系？并说明理由；
(2)若$\alpha＞\beta$,且以$\alpha^2 + \beta^2$,$3\alpha - 3\beta$,$\alpha\beta$为三边的三角形是等腰三角形,求b的值.

答案： （1）因为关于x的方程$x^{2}+bx+1=0$的两实根为$\alpha,\beta$,所以$\alpha+\beta=-b,\alpha\cdot\beta=1$.
$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha-\beta)^{2}+2\alpha\beta=(\alpha-\beta)^{2}+2\geq2$.
（2）因为关于x的方程$x^{2}+bx+1=0$的两实根为$\alpha,\beta$.
所以$\alpha+\beta=-b,\alpha\cdot\beta=1$.
因为$\alpha^{2}+\beta^{2}\geq2,\alpha\beta=1$,故$\alpha^{2}+\beta^{2}$与$\alpha\beta$不相等.
若$3\alpha-3\beta=\alpha\beta=1$,而$\alpha^{2}+\beta^{2}\geq2$,
则$(3\alpha-3\beta)+\alpha\beta\leq\alpha^{2}+\beta^{2}$,此时不能构成三角形,
所以$3\alpha-3\beta=\alpha^{2}+\beta^{2}$.
又因为$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=(-b)^{2}-2$.
所以$3\alpha-3\beta=(-b)^{2}-2$.
两边平方,得
$9(\alpha^{2}+\beta^{2}-2\alpha\beta)=b^{4}-4b^{2}+4$.
$9[(\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta]=b^{4}-4b^{2}+4$.
$9[(-b)^{2}-4]=b^{4}-4b^{2}+4$.
$b^{4}-13b^{2}+40=0$.
$b^{2}=5$或$b^{2}=8$.
所以$b=\pm\sqrt{5}$或$b=\pm2\sqrt{2}$.

4. 已知$x_1,x_2是方程x^2 - (k - 3)x + k + 4= 0$的两个实根,A,B为x轴上的两点,其横坐标分别为$x_1,x_2$($x_1＜x_2$).O为坐标原点,点P在y轴上(点P异于原点).设$\angle PAB= \alpha$,$\angle PBA= \beta$.
(1)若$\alpha,\beta$都是锐角,求k的取值范围；
(2)当$\alpha,\beta$都是锐角,$\alpha和\beta$能否相等？若能相等,请说明理由；若不能相等,请证明,并比较$\alpha,\beta$的大小.

答案： （1）因为$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-(k-3)x+k+4=0$的两个实根,A,B为x轴上的两点,其横坐标分别为$x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,
所以$\Delta=k^{2}-10k-7＞0$,解得$k＜5-4\sqrt{2}$或$k＞5+4\sqrt{2}$,
若$\alpha,\beta$都是锐角,
则点A,B在原点两侧,
所以$x_{1}\cdot x_{2}＜0$,
所以$k＜-4$.
（2）设$\alpha=\beta$,
则$x_{1}+x_{2}=0$,
所以$k-3=0,k=3$,
由
(1)知$k＜-4$,
所以$\alpha\neq\beta$.
因为$x_{1}+x_{2}=k-3＜0$,
所以$|x_{1}|＞|x_{2}|$,
所以$OA＞OB$,则$PA＞PB$.
在$\triangle PAB$中,有$\alpha＜\beta$.

5. 已知方程$x^2 - ax + 4a= 0$.
(1)若方程有两个相异的正根,求a的取值范围；
(2)若两根分别为$x_1,x_2$,$-1＜x_1＜0＜x_2＜1$,求a的取值范围；
(3)若$a＞0$,且方程仅有整数根,求a和根的值.

答案： （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l} \Delta=a^{2}-16a＞0,\\ x_{1}+x_{2}=a＞0,\\ x_{1}\cdot x_{2}=4a＞0,\end{array}\right.$
解得$a＞16$.
（2）因为方程$x^{2}-ax+4a=0$的两根$x_{1},x_{2}$满足$-1＜x_{1}＜0＜x_{2}＜1$,
所以$\left\{\begin{array}{l} \Delta=a^{2}-16a＞0,\\ 1+a+4a＞0,\\ 4a＜0,\\ 1-a+4a＞0,\end{array}\right.$
解得$-\frac{1}{5}＜a＜0$.
（3）设两整数根为x,y,则$x+y=a＞0,xy=4a＞0$,
所以$a=\frac{x^{2}}{x-4}$.
因为a是正实数,
所以$\frac{x^{2}}{x-4}＞0$,由于$x^{2}\geq0$,
所以$x-4＞0$,即$x＞4$,
而x是整数,
所以x最小取5.
又因为原方程有根,
所以$\Delta=a^{2}-4×1×4a=a^{2}-16a\geq0$,
因为a是正实数,
所以$a\geq16$.
当$x=5$时,$a=25,y=20$;
当$x=6$时,$a=18,y=12$;
当$x=7$时,$a=\frac{49}{3},y=\frac{28}{3}$(y不是整数,故舍去);
当$x=8$时,$a=16,y=8$.
于是$a=25$或18或16均为所求.