《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

4. 已知函数$y= (m + 2)x^2 + kx + n$.
(1)若此函数为一次函数.
① 求$m$,$k$,$n$的取值范围；
② 当$-2\leq x\leq1$时,$0\leq y\leq3$,求此函数关系式；
③ 当$-2\leq x\leq3$时,求此函数的最大值和最小值(用含$k$,$n$的代数式表示).
(2)若$m= -1$,$n= 2$,当$-2\leq x\leq2$时,此函数有最小值$-4$,求实数$k$的值.

答案：
(1) ① m = -2，k ≠ 0，n为任意实数.
② 当k ＞ 0时，直线经过点(-2, 0)，(1, 3)，函数关系式为y = x + 2；
当k ＜ 0时，直线经过点(-2, 3)，(1, 0)，函数关系式为y = -x + 1.
③ 当k ＞ 0时，x = -2，y有最小值，最小值为 -2k + n；
x = 3时，y有最大值，最大值为3k + n；
当k ＜ 0时，x = -2，y有最大值，最大值为 -2k + n.
x = 3时，y有最小值，最小值为3k + n.
(2) 若m = -1，n = 2时，二次函数为y = x² + kx + 2，
二次函数图像的对称轴为x = -$\frac{k}{2}$.
当 -$\frac{k}{2}$ ≤ -2，即k ≥ 4时，x = -2，y取最小值，把x = -2，y = -4代入关系式，得k = 5；
当 -2 ＜ -$\frac{k}{2}$ ＜ 2，即 -4 ＜ k ＜ 4时，x = -$\frac{k}{2}$，y取最小值，把x = -$\frac{k}{2}$，y = -4代入关系式，得k = ±2$\sqrt{6}$(不合题意，舍去)；
当 -$\frac{k}{2}$ ≥ 2，即k ≤ -4时，x = 2，y取最小值，把x = 2，y = -4代入关系式，得k = -5.
所以实数k的值为 ±5.

1. 设$a$,$b$是任意两个实数,用$\max\{a,b\}表示a$,$b$两数中较大者,例如：$\max\{-1,-1\}= -1$,$\max\{1,2\}= 2$,$\max\{4,3\}= 4$,参照上面的材料,解答下列问题：
(1)$\max\{5,2\}= $______,$\max\{0,3\}= $______；
(2)若$\max\{3x + 1,-x + 1\}= -x + 1$,求$x$的取值范围；
(3)求函数$y= x^2 - 2x - 4与y= -x + 2$的图像的交点坐标,函数$y= x^2 - 2x - 4$的图像如图所示,请你在图中作出函数$y= -x + 2$的图像,并根据图像直接写出$\max\{-x + 2,x^2 - 2x - 4\}$的最小值.

答案：

(1) 5 3
(2) 因为max{3x + 1, -x + 1} = -x + 1，
所以3x + 1 ≤ -x + 1，
解得x ≤ 0.
(3) 联立两函数解析式成方程组，
$\begin{cases}y = x² - 2x - 4\\y = -x + 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1 = -2\\y_1 = 4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2 = 3\\y_2 = -1\end{cases}$.
所以交点坐标为(-2, 4)和(3, -1).
画出直线y = -x + 2，如图所示，
观察函数图像可知：当x = 3时，max{-x + 2, x² - 2x - 4}取最小值 -1.

2. 如图①,$P(m,n)是抛物线y= \frac{x^2}{4}-1$上任意一点,$l是过点(0,-2)且与x$轴平行的直线,过点$P作直线PH\perp l$,垂足为$H$.
【探究】(1)填空：当$m= 0$时,$OP= $______,$PH= $______；当$m= 4$时,$OP= $______,$PH= $______；
【证明】(2)对任意$m$,$n$,猜想$OP与PH$的大小关系,并证明你的猜想.
【应用】(3)如图②,已知线段$AB= 6$,端点$A$,$B在抛物线y= \frac{x^2}{4}-1$上滑动,求$A$,$B两点到直线l$的距离之和的最小值.

答案：
(1) 1 1 5 5
(2) OP = PH.证明：设PH交x轴于点Q，则PQ⊥x轴，设P(m, $\frac{m²}{4}$ - 1)，则PQ = |$\frac{m²}{4}$ - 1|，OQ = |m|.因为△OPQ为直角三角形，所以OP = $\sqrt{PQ² + OQ²}$ = $\sqrt{(\frac{m²}{4} - 1)² + m²}$ = $\sqrt{(\frac{m²}{4})² + \frac{m²}{2} + 1}$ = $\sqrt{(\frac{m²}{4} + 1)²}$ = $\frac{m²}{4}$ + 1.
PH = y_P - (-2) = ($\frac{m²}{4}$ - 1) - (-2) = $\frac{m²}{4}$ + 1，
所以OP = PH.
(3) 连结OA，OB，过点A作AC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，此时AC即为点A到l的距离，BD即为点B到l的距离，则有OB = BD，OA = AC.在△AOB中，因为OB + OA ＞ AB，所以BD + AC ＞ AB.当AB过点O时，因为OB + OA = AB，所以BD + AC = AB.综上所述，BD + AC ≥ AB，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6.