《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

2.(青羊区期末)已知$x^2 - 5x + 1 = 0$,则$\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 1}$的值是______。

答案： $\frac{1}{26}$ 提示：$\because x^{2}-5x+1=0$,
$\therefore x^{2}=5x-1$,
$\therefore$原式$=\frac{5x-1}{(5x-1)^{2}+3x^{2}+1}$
$=\frac{5x-1}{25x^{2}+1-10x+3x^{2}+1}$
$=\frac{5x-1}{28x^{2}-10x+2}$
$=\frac{5x-1}{28(5x-1)-10x+2}$
$=\frac{5x-1}{26(5x-1)}$
$=\frac{1}{26}$.

3.(杨浦区校级期末)解方程：$(\frac{x - 1}{x})^2 - 3\frac{x - 1}{x} - 18 = 0$。

答案： 设$\frac{x-1}{x}=t$,则原方程可化为：
$t^{2}-3t-18=0$,
即$(t-6)(t+3)=0$,
解得$t_{1}=6$,$t_{2}=-3$,
即$\frac{x-1}{x}=6$或$\frac{x-1}{x}=-3$,
解得$x=-\frac{1}{5}$或$x=\frac{1}{4}$.
经检验,$x=-\frac{1}{5}$或$x=\frac{1}{4}$都是原方程的解.

4. 已知$a + \frac{1}{a} = 4$,求分式$\frac{a^2}{a^4 - 2a^2 + 1}$的值。

答案： 因为$a+\frac{1}{a}=4$,$a≠0$,
而$\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{a^{2}}=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2=(a+\frac{1}{a})^{2}-4=$
$4^{2}-4=12$.
所以$\frac{a^{2}}{a^{4}-2a^{2}+1}=\frac{1}{12}$.

5. 求抛物线$y = 3x^2 + 6x - 3$的顶点坐标。

答案： 因为$y=3(x^{2}+2x-1)=3(x^{2}+2x+1-2)=3$
$(x+1)^{2}-6$,所以这条抛物线的顶点坐标为$(-1,-6)$.

6. 已知$x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$,求$x + 3y$的取值范围。

答案： 设$x+3y=t$,则$x=t-3y$,将之代入原条件式得
$(t-3y)^{2}+y^{2}-2(t-3y)+4y=0$,
即$10y^{2}+(10-6t)y+t^{2}-2t=0$.
由于这个关于$y$的一元二次方程有实根,
因此$\Delta=(10-6t)^{2}-4×10×(t^{2}-2t)\geq0$.
所以$t^{2}+10t-25\leq0$,
得$-5-5\sqrt{2}\leq t\leq-5+5\sqrt{2}$.
故$-5-5\sqrt{2}\leq x+3y\leq-5+5\sqrt{2}$.

7. 求函数$y = 2x + \sqrt{1 - x}$的最大值。

答案： 令$\sqrt{1-x}=t(t\geq0)$,则$x=1-t^{2}$,得$y=2(1-$
$t^{2})+t$,$t\geq0$.
$\therefore y=-2(t^{2}-\frac{t}{2}+\frac{1}{16})+\frac{17}{8}$.
$=-2(t-\frac{1}{4})^{2}+\frac{17}{8}\leq\frac{17}{8}$.
当且仅当$t=\frac{1}{4}$,即$x=\frac{15}{16}$时等号成立.
$\therefore y_{max}=\frac{17}{8}$.

8. 求函数$y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 15$的最小值。

答案： 令$x-2=a$,则$y=(a+1)a(a-1)(a-2)+$
$15=a(a-1)(a+1)(a-2)+15=(a^{2}-a)(a^{2}-$
$a-2)+15$.
令$t=a^{2}-a$,则$y=t(t-2)+15=t^{2}-2t+15=$
$(t-1)^{2}+14\geq14$.
当且仅当$t=1$,即$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$时等号成立，
$\therefore y_{min}=14$.