《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}= 4$,则$\frac{a-2ab-b}{2a-2b+7ab}$的值等于( )
A. 6 B. -6 C. $\frac{2}{15}$ D. $-\frac{2}{7}$
【分析】由已知的式子不能解出$a、b$的值,但可以求出$a-b与ab$的数量关系,然后考虑用整体代入法求出答案.
【解答】因为$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}= 4$,所以$b-a= 4ab$,即$a-b= -4ab$,所以原式= $\frac{(a-b)-2ab}{2(a-b)+7ab}= \frac{-4ab-2ab}{-8ab+7ab}= \frac{-6ab}{-ab}= 6$.
故选A.

答案： 解：因为$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4$，所以$\frac{b - a}{ab} = 4$，即$b - a = 4ab$，则$a - b = -4ab$。
原式$=\frac{(a - b) - 2ab}{2(a - b) + 7ab}$
将$a - b = -4ab$代入上式得：
$\frac{-4ab - 2ab}{2×(-4ab) + 7ab} = \frac{-6ab}{-8ab + 7ab} = \frac{-6ab}{-ab} = 6$
故选A。

例2 已知$x$为整数,且$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$为整数,则所有符合条件的$x$值的和为______.
【分析】首先把分式进行化简,式子的值是整数的条件是分母是分子的因数,据此即可确定.
【解答】$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$
$=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{x^2-9}$
$=\frac{2x+6}{x^2-9}$
$=\frac{2}{x-3}$.
因为式子的值是整数,则$x-3= \pm2或\pm1$,则$x= 5或x= 1或x= 4或x= 2$,则所有符合条件的$x$值的和为12.

答案： 解：$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$
$=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2}{x-3}$
因为$x$为整数，且$\frac{2}{x-3}$为整数，所以$x - 3$是$2$的因数。
$2$的因数为$\pm1$，$\pm2$，则：
当$x - 3 = 1$时，$x = 4$；
当$x - 3 = -1$时，$x = 2$；
当$x - 3 = 2$时，$x = 5$；
当$x - 3 = -2$时，$x = 1$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 3 \neq 0$且$x - 3 \neq 0$，所以$x \neq -3$且$x \neq 3$，上述$x$值均满足条件。
所有符合条件的$x$值为$1$，$2$，$4$，$5$，它们的和为$1 + 2 + 4 + 5 = 12$。
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