《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

11. k为何值时,方程组$\left\{\begin{array}{l} y^2 - 4x - 2y + 1 = 0,(1)\\ y = kx + 2,(2)\end{array} \right.$
(1)有两组相等的实数解？
(2)有两组不相等的实数解？
(3)没有实数解？

答案： （1）将
(2)代入
(1),整理得$k^{2}x^{2}+(2k-4)x+1=0......(3).$当$\left\{\begin{array}{l} k^{2}≠0,\\ △=0\end{array}\right. $时,方程
(3)有两个相等的实数根.即$\left\{\begin{array}{l} k^{2}≠0,\\ (2k-4)^{2}-4k^{2}=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k≠0,\\ k=1\end{array}\right. \Rightarrow k=1.$
∴当$k=1$时,原方程组有两组相等的实数根.
(2)当$\left\{\begin{array}{l} k^{2}≠0,\\ △＞0\end{array}\right. $时,方程
(3)有两个不相等的实数根.即$\left\{\begin{array}{l} k^{2}≠0,\\ (2k-4)^{2}-4k^{2}＞0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k≠0,\\ k＜1\end{array}\right. \Rightarrow k＜1$且$k≠0.$
∴当$k＜1$且$k≠0$时,原方程组有两组不等实根.
(3)因为在
(1)、
(2)中已知方程组有两组解,可以确定方程
(3)是一元二次方程,但在此问中不能确定方程
(3)是否是二次方程,所以需两种情况讨论.
(ⅰ)若方程
(3)是一元二次方程,无解条件是$\left\{\begin{array}{l} k^{2}≠0,\\ △＜0,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} k^{2}≠0,\\ (2k-4)^{2}-4k^{2}＜0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k≠0,\\ k＞1\end{array}\right. \Rightarrow k＞1.$
(ⅱ)若方程
(3)不是二次方程,则$k=0$,此时方程
(3)为$-4x+1=0$,它有实数根$x=\frac {1}{4}.$综合(ⅰ)和(ⅱ)两种情况可知,当$k＞1$时,原方程组没有实数根.

12. 已知方程组$\left\{\begin{array}{l} y^2 = 4x,\\ y = 2x + n\end{array} \right.的两组解是\left\{\begin{array}{l} x = x_1,\\ y = y_1\end{array} \right.和\left\{\begin{array}{l} x = x_2,\\ y = y_2,\end{array} \right.且x_1x_2 \neq 0$,$x_1 \neq x_2$,设$m = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
(1)求n的取值范围；
(2)试用含n的代数式表示出m；
(3)是否存在这样的n值,使m的值等于1？若存在,求出所有这样的n值；若不存在,请说明理由.

答案： （1）$n＜\frac {1}{2}$且$n≠0$
(2)利用根与系数的关系得$m=\frac {4-4n}{n^{2}}(n＜\frac {1}{2}$且$n≠0).$
(3)存在.由题意得$\left\{\begin{array}{l} \frac {4-4n}{n^{2}}=1,\\ n＜\frac {1}{2}且n≠0,\end{array}\right. $解得$n=-2-2\sqrt {2}.$