《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

3. 已知抛物线$y= x^2-(k + 2)x+\frac{5k + 2}{4}和直线y= (k + 1)x + (k + 1)^2$.
(1)求证：无论$k$取何实数值,抛物线总与$x$轴有两个不同的交点；
(2)抛物线与$x轴交于点A$,$B$,直线与$x轴交于点C$,设$A$,$B$,$C三点的横坐标分别是x_1$,$x_2$,$x_3$,求$x_1\cdot x_2\cdot x_3$的最大值；
(3)如图,如果抛物线与$x轴的交点A$,$B$在原点的右侧,直线与$x轴的交点C$在原点的左侧,又抛物线、直线分别交$y轴于点D$,$E$,直线$AD交直线CE于点G$,且$CA\cdot GE= CG\cdot AB$,求抛物线的解析式.

答案：
(1) Δ = [-(k + 2)]² - 4×$\frac{5k + 2}{4}$ = k² + 4 + 4k - 5k - 2 = k² - k + 2 = (k - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7}{4}$ ＞ 0，所以无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点.
(2) x₁·x₂ = $\frac{5k + 2}{4}$，x₃ = -(k + 1)，所以x₁·x₂·x₃ = -(k + 1)·$\frac{5k + 2}{4}$ = -$\frac{5}{4}$(k + $\frac{7}{10}$)² + $\frac{9}{80}$，所以x₁·x₂·x₃的最大值为$\frac{9}{80}$.
(3) 因为CA·GE = CG·AB，所以$\frac{CA}{AB}$ = $\frac{CG}{GE}$，所以△CAG∽△CBE，所以∠CAG = ∠CBE.又因为∠AOD = ∠BOE，所以△OAD∽△OBE，所以$\frac{OA}{OB}$ = $\frac{OD}{OE}$.因为OA·OB = $\frac{5k + 2}{4}$，OD = $\frac{5k + 2}{4}$，OE = (k + 1)²，所以OA·OB = OD，所以$\frac{OA}{OB}$ = $\frac{OA·OB}{OE}$，即OB² = OE，所以OB = k + 1，所以点B(k + 1, 0).将点B代入抛物线y = x² - (k + 2)·x + $\frac{5k + 2}{4}$，得k = 2，所以抛物线的解析式为y = x² - 4x + 3.