《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例5 有这样一类题目：将$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$化简,若你能找到两个数m、n,使$m^2+n^2= a并且mn= \sqrt{b}$,则将$a\pm2\sqrt{b}变成m^2+n^2\pm2mn= (m\pm n)^2$,开方,从而使得$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$化简.
例如：化简$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$.
因为$3+2\sqrt{2}= 1+2+2\sqrt{2}$
$=1^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}$
$=(1+\sqrt{2})^2$,
所以$\sqrt{3+2\sqrt{2}}= \sqrt{(1+\sqrt{2})^2}= 1+\sqrt{2}$.
仿照上例化简下列各式：
(1)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$；(2)$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$.
【解答】(1)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}= \sqrt{1+3+2\sqrt{3}}$
$=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}}$
$=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}$
$=1+\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
$=\sqrt{2+3-2\sqrt{6}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{2}×\sqrt{3}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

答案：
(1)解：$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$
$=\sqrt{1+3+2\sqrt{3}}$
$=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+2×1×\sqrt{3}}$
$=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}$
$=1+\sqrt{3}$.
(2)解：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
$=\sqrt{2+3-2\sqrt{6}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{2}×\sqrt{3}}$
$=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

练一练初中试题
1. 把分式$-\frac{8a^6b}{12a^2b^2}$约分的结果是 ( )

A.$-\frac{a^4}{4b}$
B.$-\frac{a^3}{4b}$
C.$-\frac{2a^4}{3b}$
D.$-\frac{2a^3}{3b}$

答案： C

2. 下列等式正确的是 ( )

A.$(\sqrt{3})^2= 3$
B.$\sqrt{(-3)^2}= -3$
C.$\sqrt{3^3}= 3$
D.$(-\sqrt{3})^2= -3$

答案： A

3. 方程$\sqrt{x}+\sqrt{y}= \sqrt{2001}$整数解 ( )

A.不存在
B.仅有1组
C.仅有2组
D.至少有4组

答案： C

4. 满足$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}＜x＜\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$的整数x的个数是 ( )

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C