《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 (1)试判断直线$y= 2x+1与抛物线y= x^2 - 3x + 1$的交点个数；
(2)若直线$y= 2x + b与抛物线y= x^2$有两个不同的交点,求b的取值范围.
【分析】(1)中求直线$y= 2x+1与抛物线y= x^2 - 3x + 1$的交点个数,可转化为求方程组$\begin{cases} y= 2x+1, \\ y= x^2 - 3x + 1 \end{cases} $的解的个数.
(2)中直线与抛物线有两个不同的交点,即方程组$\begin{cases} y= 2x + b, \\ y= x^2 \end{cases} $有两个不同的解,故方程$x^2= 2x + b$中的判别式“$\Delta$”应大于0.
【解答】(1)依题意,联立方程,得$\begin{cases} y= 2x+1, \\ y= x^2 - 3x + 1 \end{cases} 所以2x + 1= x^2 - 3x + 1$,即$x^2 - 5x= 0$,此时$\Delta=(-5)^2 - 4×1×0= 25＞0$,所以方程组有两个不同的解,所以直线$y= 2x+1与抛物线y= x^2 - 3x + 1$有两个交点.
(2)由$\begin{cases} y= 2x + b, \\ y= x^2 \end{cases} 得x^2= 2x + b$,$x^2 - 2x - b= 0$,依题意知$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(-b)= 4(1 + b)＞0$,所以$b＞-1$,即当$b＞-1$时,直线$y= 2x + b与抛物线y= x^2$有两个不同的交点.

答案：
(1)解：联立方程得$\begin{cases} y=2x+1 \\ y=x^2 - 3x + 1 \end{cases}$
$2x + 1 = x^2 - 3x + 1$
$x^2 - 5x = 0$
$\Delta=(-5)^2 - 4×1×0 = 25＞0$
∴直线与抛物线有两个交点.
(2)解：联立方程得$\begin{cases} y=2x + b \\ y=x^2 \end{cases}$
$x^2 = 2x + b$
$x^2 - 2x - b = 0$
依题意$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(-b)=4(1 + b)＞0$
$4(1 + b)＞0$
$1 + b＞0$
$b＞-1$
∴$b$的取值范围是$b＞-1$.

例2 已知实数x,y满足$x^2 + y^2 - xy + 2x - y + 1= 0$,试求x,y的值.
【分析】由于x,y只满足一个关系式,所以不能用普通的解方程组的方法求x,y,此题应考虑关系式的特殊性.
【解答】把$x^2 + y^2 - xy + 2x - y + 1= 0$看成关于x的方程,整理,得$x^2 - (y - 2)x + y^2 - y + 1= 0$.
因为x,y为实数,所以关于x的方程应有实数根,所以$\Delta=[-(y - 2)]^2 - 4×(y^2 - y + 1)= -3y^2\geq0$,所以$y= 0$.
把$y= 0$代入原方程,得$x^2 + 2x + 1= 0$,解得$x= -1$.
所以$x= -1$,$y= 0$.

答案： 解：将方程$x^2 + y^2 - xy + 2x - y + 1 = 0$整理为关于$x$的一元二次方程：
$x^2 - (y - 2)x + (y^2 - y + 1) = 0$。
因为$x$为实数，所以判别式$\Delta \geq 0$。
计算判别式：
$\Delta = [-(y - 2)]^2 - 4 × 1 × (y^2 - y + 1)$
$= (y - 2)^2 - 4(y^2 - y + 1)$
$= y^2 - 4y + 4 - 4y^2 + 4y - 4$
$= -3y^2$。
由$\Delta \geq 0$，得$-3y^2 \geq 0$，即$y^2 \leq 0$，所以$y = 0$。
将$y = 0$代入原方程：
$x^2 + 0 - 0 + 2x - 0 + 1 = 0$，即$x^2 + 2x + 1 = 0$。
解得$(x + 1)^2 = 0$，所以$x = -1$。
综上，$x = -1$，$y = 0$。
答案：$x = -1$，$y = 0$。

例3 已知关于x的方程$x^2 - (k + 1)x + \frac{1}{4}k^2 + 1= 0$,根据下列条件,分别求出k的值.
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根$x_1、x_2满足|x_1|= x_2$.
【分析】(1)由韦达定理即可求之.(2)有两种可能,一是$x_1= x_2＞0$,二是$-x_1= x_2$,所以要分类讨论.
【解答】(1)因为方程两实根的积为5,所以$\begin{cases} \Delta=[-(k + 1)]^2 - 4(\frac{1}{4}k^2 + 1)\geq0, \\ x_1x_2= \frac{1}{4}k^2 + 1= 5, \end{cases} $解 得$\begin{cases} k\geq\frac{3}{2}, \\ k= \pm4, \end{cases} 所以当k= 4$时,方程两实根的积为5.
(2)当$x_1\geq0$时,$x_1= x_2$,所以方程有两个相等的实数根,故$\Delta=0$,所以$k= \frac{3}{2}$；
当$x_1＜0$时,$-x_1= x_2$,即$x_1 + x_2= 0$,所以$k + 1= 0$,$k= -1$.由于$\Delta＞0$时,$k＞\frac{3}{2}$,故$k= -1$不合题意,舍去.
综上所述,当$k= \frac{3}{2}$时,方程的两实根$x_1、x_2满足|x_1|= x_2$.
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两个实根的条件,即所求的字母应满足$\Delta\geq0$.

答案： 【解析】：
(1)根据题目条件，方程两实根的积为5，我们可以利用韦达定理$x_1x_2=\frac{c}{a}$（其中$a$是二次项系数，$c$是常数项），得到方程$\frac{1}{4}k^2 + 1 = 5$。
同时，我们需要保证方程有两个实根，即判别式$\Delta\geq0$，也就是$[-(k + 1)]^2 - 4(\frac{1}{4}k^2 + 1)\geq0$。
解这个方程组，我们可以得到$k$的值。
(2)当方程的两实根$x_1、x_2满足|x_1|= x_2$时，存在两种情况：
一是$x_1= x_2＞0$，此时方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，解这个方程我们可以得到一个$k$的值；
二是$-x_1= x_2$，此时$x_1 + x_2= 0$，即$k + 1= 0$，解这个方程我们可以得到另一个$k$的值。
但是我们需要检查这两个$k$值是否都满足$\Delta\geq0$的条件，以保证方程有两个实根。
【答案】：
(1)解：
因为方程两实根的积为5，所以有方程组
$\begin{cases}\Delta=[-(k + 1)]^2 - 4(\frac{1}{4}k^2 + 1)\geq0, \\x_1x_2= \frac{1}{4}k^2 + 1= 5,\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k\geq\frac{3}{2}, \\k= \pm4,\end{cases}$
所以当$k= 4$时，方程两实根的积为5。
(2)解：
当$x_1\geq0$时，$x_1= x_2$，所以方程有两个相等的实数根，故
$\Delta=0$，
所以$k= \frac{3}{2}$；
当$x_1＜0$时，$-x_1= x_2$，即$x_1 + x_2= 0$，所以$k + 1= 0$，$k= -1$。
由于$\Delta＞0$时，$k＞\frac{3}{2}$，故$k= -1$不合题意，舍去。
综上所述，当$k= \frac{3}{2}$时，方程的两实根$x_1、x_2满足|x_1|= x_2$。