《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

2. 求最大正整数$n$,使得$n^{3}+2017能被n+13$整除.

答案： 要使$(n^{3}+2017)÷(n+13)=\frac{n^{3}+2017}{n+13}=\frac{(n+13)(n^{2}-13n+169)-180}{n+13}=n^{2}-13n+169-\frac{180}{n+13}$为整数，必须使180能被$n+13$整除，则n的最大值为167.

3. 若$x$为任意整数,求证：$(7-x)(3-x)(4-x^{2})$的值不大于100.

答案： 因为$(7-x)(3-x)(4-x^{2})-100=-(x-7)(x+2)(x-3)(x-2)-100=-(x^{2}-5x-14)(x^{2}-5x+6)-100=-[(x^{2}-5x)^{2}-8(x^{2}-5x)+16]=-(x^{2}-5x-4)^{2}\leq0$，所以$(7-x)(3-x)(4-x^{2})\leq100$.

4. 将$a^{2}+(a+1)^{2}+(a^{2}+a)^{2}$分解因式,并用分解结果计算：$6^{2}+7^{2}+42^{2}$.

答案： 因为$a^{2}+(a+1)^{2}+(a^{2}+a)^{2}=a^{2}+a^{2}+2a+1+(a^{2}+a)^{2}=2(a^{2}+a)+1+(a^{2}+a)^{2}=(a^{2}+a+1)^{2}$，所以$6^{2}+7^{2}+42^{2}=(36+6+1)^{2}=43^{2}=1849$.