《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

10. 在数学拓展课上,小明同学根据学习函数的经验,对新函数$y= x^2-2|x|$的图像和性质进行了探究,探究过程如下：
【初步尝试】求二次函数$y= x^2-2x$的顶点坐标及与x轴的交点坐标；
【类比探究】当函数$y= x^2-2|x|$时,自变量$x$的取值范围是全体实数,下表为$y与x$的几组对应值.
|$x$|…$$|$-3$|$-\frac{5}{2}$|$-2$|$-1$|$0$|$1$|$2$|$\frac{5}{2}$|$3$|…$$|
|$y$|…$$|$3$|$\frac{5}{4}$|$0$|$-1$|$0$|$-1$|$0$|$\frac{5}{4}$|$3$|…$$|
① 根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图像的一部分,请你画出该函数图像的另一部分；

② 根据画出的函数图像,写出该函数的两条性质.
【深入探究】若点$M(m,y_1)$在图像上,且$y_1\leq0$,若点$N(m+k,y_2)$也在图像上,且满足$y_2\geq3$恒成立,求$k$的取值范围.

答案：
【初步尝试】$\because y = x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1$，$\therefore$此抛物线的顶点坐标为$(1, - 1)$；令$y = 0$，则$x^{2}-2x = 0$，解得$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$，$\therefore$此抛物线与x轴的交点坐标为$(0,0)$，$(2,0)$；【类比探究】① 如图所示： ② 函数图像的性质：a. 图像关于y轴对称；b. 当x取1或 - 1时，函数有最小值 - 1；【深入探究】根据图像可知，当$y_{1}\leqslant 0$时，$-2\leqslant m\leqslant 2$，当$y_{2}\geqslant 3$时，$m + k\leqslant - 3$或$m + k\geqslant 3$，则$k\leqslant - 5$或$k\geqslant 5$。故k的取值范围是$k\leqslant - 5$或$k\geqslant 5$。