《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} 2x - y = 0,\enclose{circle}{1}\\ x^2 - y^2 + 3 = 0.\enclose{circle}{2}\end{array} \right.$
【分析】由于方程①是二元一次方程,故可由方程①,得$y = 2x$,代入方程②消去y.
【解答】由①,得$y = 2x$. ③
将③代入②,得$x^2 - (2x)^2 + 3 = 0$,解得$x_1 = 1$,$x_2 = -1$.
把$x_1 = 1$代入③,得$y_1 = 2$.把$x_2 = -1$代入③,得$y_2 = -2$.
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 1,\\ y_1 = 2;\end{array} \right.\left\{\begin{array}{l} x_2 = -1,\\ y_2 = -2.\end{array} \right.$

答案： 解：由①，得$y = 2x$。③
将③代入②，得$x^2 - (2x)^2 + 3 = 0$，
整理得$-3x^2 + 3 = 0$，即$x^2 = 1$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。
把$x_1 = 1$代入③，得$y_1 = 2×1 = 2$；
把$x_2 = -1$代入③，得$y_2 = 2×(-1) = -2$。
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 1,\\ y_1 = 2;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l} x_2 = -1,\\ y_2 = -2.\end{array}\right.$

例2 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} x^2 + xy = 12,(1)\\ xy + y^2 = 4.(2)\end{array} \right.$
【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项,我们可以消去常数项,得到一个二次三项式的方程.对其因式分解,就可以转化为上例.
【解答】(1) - (2)×3得：$x^2 + xy - 3(xy + y^2) = 0$,
即$x^2 - 2xy - 3y^2 = 0\Rightarrow (x - 3y)(x + y) = 0$,
∴$x - 3y = 0或x + y = 0$.
∴原方程组可化为两个二元一次方程组：$\left\{\begin{array}{l} x - 3y = 0,\\ xy + y^2 = 4,\end{array} \right.\left\{\begin{array}{l} x + y = 0,\\ xy + y^2 = 4.\end{array} \right.$
用代入法解这两个方程组,得原方程组的解是：$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 3,\\ y_1 = 1;\end{array} \right.\left\{\begin{array}{l} x_2 = -3,\\ y_2 = -1.\end{array} \right.$
【点评】若方程组的两个方程均缺一次项,则消去常数项,得到一个二元二次方程.此方程与原方程组中的任一个方程联立,得到一个可因式分解型的二元二次方程组.

答案： 【解析】：本题考查二元二次方程组的解法。题目中的方程组缺少一次项，可以通过消去常数项得到一个二元二次方程，然后通过因式分解转化为两个二元一次方程组，最后解这两个二元一次方程组得到原方程组的解。
【答案】：解：
(1) -
(2)×3得：
$x^2 + xy - 3(xy + y^2) = 0$
即
$x^2 - 2xy - 3y^2 = 0$
因式分解得：
$(x - 3y)(x + y) = 0$
∴
$x - 3y = 0$ 或 $x + y = 0$
原方程组可化为两个二元一次方程组：
$\left\{\begin{array}{l} x - 3y = 0 \\ xy + y^2 = 4 \end{array} \right.$
和
$\left\{\begin{array}{l} x + y = 0 \\ xy + y^2 = 4 \end{array} \right.$
解第一个方程组：
由 $x - 3y = 0$ 得 $x = 3y$
代入 $xy + y^2 = 4$ 得 $3y^2 + y^2 = 4$
即 $4y^2 = 4$
解得 $y^2 = 1$
∴ $y = 1$ 或 $y = -1$
当 $y = 1$ 时，$x = 3$
当 $y = -1$ 时，$x = -3$
解第二个方程组：
由 $x + y = 0$ 得 $x = -y$
代入 $xy + y^2 = 4$ 得 $-y^2 + y^2 = 4$
即 $0 = 4$（无解）
∴ 原方程组的解是：
$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 3 \\ y_1 = 1 \end{array} \right.$
和
$\left\{\begin{array}{l} x_2 = -3 \\ y_2 = -1 \end{array} \right.$

例3 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} x + y = 11,\enclose{circle}{1}\\ xy = 28.\enclose{circle}{2}\end{array} \right.$
【分析】本题可以用代入消元法解方程组,但注意到方程组的特点,可以把x,y看成是方程$z^2 - 11z + 28 = 0$的两根,则更容易求解.
【解答】根据一元二次方程的根与系数的关系,把x,y看成是方程$z^2 - 11z + 28 = 0$的两根,解方程,得$z_1 = 4$,$z_2 = 7$,所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 4,\\ y_1 = 7;\end{array} \right.\left\{\begin{array}{l} x_2 = 7,\\ y_2 = 4.\end{array} \right.$

答案： 解：根据一元二次方程根与系数的关系，把$x$，$y$看作方程$z^2 - 11z + 28 = 0$的两根。
解方程$z^2 - 11z + 28 = 0$，因式分解得$(z - 4)(z - 7) = 0$，则$z - 4 = 0$或$z - 7 = 0$，解得$z_1 = 4$，$z_2 = 7$。
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 4\\ y_1 = 7\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l} x_2 = 7\\ y_2 = 4\end{array}\right.$。

例4 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} xy + x = 3,\enclose{circle}{1}\\ 3xy + y = 8.\enclose{circle}{2}\end{array} \right.$
【分析】注意到两个方程都有xy项,所以可用加减法消之,得到一个二元一次方程,即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.
【解答】①×3 - ②,得$3x - y = 1$,即$y = 3x - 1$. ③
将③代入①,得$x(3x - 1) + x = 3$.
化简,得$x^2 = 1$,所以$x_1 = 1$,$x_2 = -1$.
将$x_1$、$x_2$分别代入③,得$y_1 = 2$,$y_2 = -4$,所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 1,\\ y_1 = 2;\end{array} \right.\left\{\begin{array}{l} x_2 = -1,\\ y_2 = -4.\end{array} \right.$

答案： 解：①×3 - ②，得$3x - y = 1$，即$y = 3x - 1$。③
将③代入①，得$x(3x - 1) + x = 3$。
化简，得$3x^2 = 3$，即$x^2 = 1$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。
将$x_1 = 1$代入③，得$y_1 = 3×1 - 1 = 2$；
将$x_2 = -1$代入③，得$y_2 = 3×(-1) - 1 = -4$。
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x_1 = 1,\\ y_1 = 2;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x_2 = -1,\\ y_2 = -4.\end{array}\right.$