《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

5. 已知一直角三角形的三边长为 $a$、$b$、$c$,$\angle B= 90^{\circ}$,那么关于 $x$ 的方程 $a(x^{2}-1)-2x+b(x^{2}+1)= 0$ 的根的情况为( )

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： D

6. 关于 $x$ 的方程：$k(k+1)(k-2)x^{2}-2(k+1)(k+2)x+k+2= 0$ 只有一个实数解(两个相同的也只算一个),则实数 $k$ 可取不同值的个数为( )

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C

7. 方程 $ax^{2}+x+1= 0$ 有两个不等的实数根,则 $a$ 的取值范围是______.

答案： $a ＜ \frac{1}{4}$且$a \neq 0$

8. 设下列三个一元二次方程：$x^{2}+4ax-4a+3= 0$,$x^{2}+(a-1)x+1+a^{2}= 0$,$x^{2}+2ax-2a+3= 0$,至少有一个方程有实根,则实数 $a$ 的取值范围是______.

答案： $a \leq -\frac{3}{2}$或$a \geq \frac{1}{2}$

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x-3)(x-2)= |m|$.
(1)求证：对于任意实数 $m$,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是 1,求 $m$ 的值及方程的另一个根.

答案： （1）因为$(x - 3)(x - 2)=\vert m\vert$，所以$x^2 - 5x + 6-\vert m\vert=0$，$\Delta=(-5)^2 - 4(6-\vert m\vert)=1 + 4\vert m\vert$．因为$\vert m\vert\geq0$，所以$\Delta＞0$，所以方程总有两个不相等的实数根．（2）因为方程的一个根是1，所以$\vert m\vert=2$，解得$m=\pm2$．当$m = 2$时，原方程为$x^2-5x + 4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$．当$m=-2$时，原方程为$x^2 - 5x + 8=0$，此方程无解，与已知矛盾，故舍去．所以$m$的值为2，方程的另一个根是4．

10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2(k-3)x+k^{2}-4k-1= 0$.
(1)若这个方程有实数根,求实数 $k$ 的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$,且满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= x_{1}x_{2}+7$,求实数 $k$ 的值.

答案： （1）$\because x^2-2(k - 3)x + k^2-4k - 1=0$有实数根，$\therefore\Delta=4(k - 3)^2-4(k^2 - 4k - 1)=4k^2-24k + 36-4k^2 + 16k + 4=40-8k\geq0$，解得$k\leq5$．（2）$\because$方程的两实数根分别为$x_1$，$x_2$，$\therefore x_1 + x_2=2(k - 3)$，$x_1x_2=k^2-4k - 1$．$\because x_1^2 + x_2^2=x_1x_2 + 7$，$\therefore(x_1 + x_2)^2-3x_1x_2 - 7=0$，$\therefore k^2-12k + 32=0$，解得$k_1=4$，$k_2=8$．又$\because k\leq5$，$\therefore k = 4$．

1. 若方程 $|x^{2}-5x|= a$ 有且只有两个不相等的实数根,求 $a$ 的取值范围.

答案： 当$a = 0$时，原方程变为$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$，方程有两个不相等的实数根；当$a＞0$时，原方程变为$x^2-5x + a=0$①或$x^2-5x - a=0$②，所以$\Delta_1=25-4a$，$\Delta_2=25 + 4a$．由于$a＞0$，所以$\Delta_2=25 + 4a＞0$，要原方程有且只有两个不相等的实数根，则必须$\Delta_1=25-4a＜0$，即$a＞\frac{25}{4}$．综上，若方程$\vert x^2-5x\vert=a$有且只有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是$a = 0$或$a＞\frac{25}{4}$．

2. 若方程 $|x^{2}+ax|= 4$ 有 3 个不相等的实数根,求 $a$ 的值和相应的 3 个根.

答案： 因为$\vert x^2 + ax\vert=4$，所以$x^2 + ax - 4=0$①或$x^2 + ax + 4=0$②．因为方程①、②没有相同的根，而方程有3个不相等的实数根，所以方程①、②中有一个有等根．因为$\Delta_1=a^2 + 16＞0$，所以有$\Delta_2=a^2-16=0$，即$a=\pm4$．当$a = 4$时，原方程为$x^2 + 4x - 4=0$或$x^2 + 4x + 4=0$，原方程的解为$x=-2$或$x=-2\pm2\sqrt{2}$；当$a=-4$时，原方程为$x^2-4x - 4=0$或$x^2-4x + 4=0$，原方程的解为$x = 2$或$x=2\pm2\sqrt{2}$．

3. $a$、$b$ 为实数,关于 $x$ 的方程 $|x^{2}+ax+b|= 2$ 有 3 个不相等的实数根.
(1)求证：$a^{2}-4b-8= 0$；
(2)若该方程的 3 个不等实根恰为一个三角形 3 个内角的度数,求证：该三角形必有一个内角为 $60^{\circ}$.

答案： （1）由原方程得$x^2 + ax + b - 2=0$①，$x^2 + ax + b + 2=0$②，两方程的判别式分别为$\Delta_1=a^2-4b + 8$，$\Delta_2=a^2-4b - 8$，显然$\Delta_1＞\Delta_2$．又因为方程有3个不相等的实数根，所以$\Delta_1＞0$，$\Delta_2=0$，即$a^2-4b - 8=0$．（2）设方程①的两根为$x_1$，$x_2$，方程②的根为$x_3$，则$x_1 + x_2 + x_3=180^\circ$．可求得$x_1 + x_2=-a$，$x_3=-\frac{a}{2}$，所以$x_1 + x_2 + x_3=-\frac{3}{2}a=180^\circ$，解得$a=-120^\circ$．所以$x_3=-\frac{a}{2}=60^\circ$，故该三角形必有一个内角为$60^\circ$．