《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

1. 已知$x(x + 1)-(x^2 + y)= -3$,求$\frac{x^2 + y^2}{2}-xy$的值。

答案： $\frac{9}{2}$

2. (1)若$x + y = 10$,$x^3 + y^3 = 100$,求$x^2 + y^2$的值；
(2)若$a - b = 3$,求$a^3 - b^3 - 9ab$的值。

答案：
(1)因为x³+ y³=(x + y)(x² - xy + y²),
所以x² - xy + y² = 100÷10 = 10.
因为x + y = 10,
所以x²+ 2xy + y² = 100,
所以2xy = 100 - (x²+ y²),把xy = x²+ y² - 10,代入得100 - (x²+ y²)=2(x²+ y² - 10)=2(x²+ y²)- 20,
3(x²+ y²)=120,
所以x²+ y² = 40.
(2)a³ - b³=(a - b)(a²+ ab + b²)=(a - b)[(a - b)²+ 3ab]=3(a - b)²+ 9ab,
所以a³ - b³ - 9ab = 3(a - b)² = 27.

3. 已知三角形的三条边$a$、$b$、$c适合等式a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$,请确定三角形的形状。

答案： 由已知a³+ b³+ c³ = 3abc,
所以a³+ b³+ c³ - 3abc
=(a + b)(a² - ab + b²)+ c³ - 3abc
=(a + b)[(a + b)² - 3ab]+ c³ - 3abc
=(a + b)³ - 3ab(a + b)+ c³ - 3abc
=(a + b + c)[(a + b)² - (a + b)c + c²]- 3ab(a + b + c)
=(a + b + c)(a²+ b²+ c² - ab - ac - bc)
=0.
因为a、b、c为三角形的三边长，
所以a + b + c＞0,
所以a²+ b²+ c² - ab - ac - bc = 0,
即2a²+ 2b²+ 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0,
a² - 2ab + b²+ a² - 2ac + c²+ b² - 2bc + c² = 0,
(a - b)²+(a - c)²+(b - c)² = 0.
因为(a - b)²≥0,(a - c)²≥0,(b - c)²≥0,
所以(a - b)² = 0,(a - c)² = 0,(b - c)² = 0,
所以a = b = c,即三角形为等边三角形.

4. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”。如：$3= 2^2 - 1^2$,$7= 4^2 - 3^2$,$8= 3^2 - 1^2$,因此3、7、8都是“智慧数”。
(1)18______“智慧数”,2017______“智慧数”(填“是”或“不是”)；
(2)除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？请说明理由。
(3)在正整数中,从1开始,______是第2017个智慧数。

答案：
(1)不是　是
(2)除1外的所有正奇数一定是“智慧数”
理由:设这个奇数为2n + 1(n为正整数),
可得2n + 1=(n + 1)² - n²,
则除1外，所有正奇数一定是“智慧数”.
(3)2692

5. 证明：当$n$为大于2的整数时,$n^5 - 5n^3 + 4n$能被120整除。

答案： 由n^{5}- 5n³+ 4n=(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2),则可知n^{5}- 5n³+ 4n为5个连续的正整数的乘积,且n为大于2的整数,120 = 1×2×3×4×5,当n = 3时,n^{5}- 5n³+ 4n = 120,能被120整除;当n＞3时,n^{5}- 5n³+ 4n为120的整数倍，能被120整除.