《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例2 计算：$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{2020}) \cdot (1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{2019}) - (1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{2020})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{2019})$。
【分析】直接计算比较烦琐,仔细观察发现每个括号均含有$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{2019}$,考虑用换元法。
【解答】令$x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{2019}$,
则原式$= (x + \frac{1}{2020})(x + 1) - x(x + 1 + \frac{1}{2020}) = x^2 + x + \frac{x}{2020} + \frac{1}{2020} - x^2 - x - \frac{x}{2020} = \frac{1}{2020}$。

答案： 【解析】：
本题主要考察的是换元法在复杂算式中的应用。
通过观察发现，每个括号内都包含了一个公共部分，即序列$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, …, \frac{1}{2019}$的和，这提示可以使用换元法来简化计算。
令 $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{2019}$，
则可以将原式中的公共部分替换为$x$，从而简化原式。
通过代数运算，我们可以得到最终答案。
【答案】：
解：
令 $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{2019}$，
则原式
$= (x + \frac{1}{2020})(1 + x) - (1 + x + \frac{1}{2020})x$
$= x + x^2 + \frac{x}{2020} + \frac{1}{2020} - x - x^2 - \frac{x}{2020}$
$= \frac{1}{2020}$。

例3 若$-3 \leq x \leq 3$,求函数$y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 5$的最小值。
【分析】这是关于x的四次函数,通过换元,可将它化成二次函数的最值问题。
【解答】$y = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + 5$
$= (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + 5$
$= z(z + 2) + 5 = (z + 1)^2 + 4$,
其中$z = x^2 + 5x + 4$。
因为$z = x^2 + 5x + 4 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$,$-3 \leq x \leq 3$,这是一段开口向上,对称轴为直线$x = -\frac{5}{2}$的抛物线弧。
所以当$x = -\frac{5}{2}$时,$z_{min} = -\frac{9}{4}$；
当$x = 3$时,$z_{max} = 28$。
所以$y = (z + 1)^2 + 4$,$-\frac{9}{4} \leq z \leq 28$。这是一段开口向上、对称轴为直线$z = -1$的抛物线弧。
于是当$z = -1$,即$x = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$时,$y_{min} = 4$。
【点评】本题采用换元法将高次函数转换为二次函数来求解,简化了计算,但要注意换元前后的变量取值范围要一致。

答案： 解：$y=(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)+5$
$=(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3)+5$
$=(x^{2}+5x + 4)(x^{2}+5x + 6)+5$
设$z=x^{2}+5x + 4$，则$y=z(z + 2)+5=(z + 1)^{2}+4$
$z=x^{2}+5x + 4=(x+\frac{5}{2})^{2}-\frac{9}{4}$
$\because -3\leq x\leq3$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-\frac{5}{2}$
$\therefore$当$x=-\frac{5}{2}$时，$z_{min}=-\frac{9}{4}$；当$x = 3$时，$z_{max}=3^{2}+5×3 + 4=28$
即$-\frac{9}{4}\leq z\leq28$
$y=(z + 1)^{2}+4$，抛物线开口向上，对称轴为$z=-1$
$\because -1\in[-\frac{9}{4},28]$
$\therefore$当$z=-1$时，$y_{min}=4$
此时$x^{2}+5x + 4=-1$，即$x^{2}+5x + 5 = 0$，解得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}$
$\because -3\leq\frac{-5+\sqrt{5}}{2}\leq3$，$-3\leq\frac{-5-\sqrt{5}}{2}\leq3$
$\therefore$函数$y$的最小值为$4$

1. 把多项式$(x - y)^2 - 2(x - y) - 8$分解因式,正确的结果是( )

A.$(x - y + 4)(x - y + 2)$
B.$(x - y - 4)(x - y - 2)$
C.$(x - y - 4)(x - y + 2)$
D.$(x - y + 4)(x - y - 2)$

答案： C