《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 解方程：$\frac{1}{x+2}+\frac{4x}{x^2-4}+\frac{2}{2-x}= 1$.
【分析】解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程,而转化为整式方程的关键是正确地确定出方程中各分母的最简公分母.由于此方程中的分母并非均按$x$的降幂排列,所以将方程的分母作一转化,均为按字母$x$进行降幂排列,并对可进行分解的分母进行分解,从而确定出最简公分母.
【解答】方程两边都乘$(x+2)(x-2)$,约去分母,得$(x-2)+4x-2(x+2)= (x+2)(x-2)$.
整理,得$x^2-3x+2= 0$.
解这个方程,得$x_1= 1$,$x_2= 2$.
检验：把$x= 1代入(x+2)(x-2)$,不等于0,所以$x= 1$是原方程的根；把$x= 2代入(x+2)(x-2)$,等于0,所以$x= 2$是增根.
所以原方程的根是$x= 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了分式方程的解法，特别是如何将分式方程转化为整式方程。解题的关键是确定方程中的最简公分母，这通常涉及到对分母进行因式分解和识别公共因子。在本题中，首先识别出分母$x+2$，$x^2-4$（可以分解为$(x+2)(x-2)$），和$2-x$（可以看作$-(x-2)$），从而确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$。然后两边乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，进一步化简和求解。
【答案】：
解：
方程两边都乘以最简公分母$(x+2)(x-2)$，得到：
$(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)$，
展开并整理得：
$x^2-3x+2=0$，
解这个一元二次方程，得到两个$x_1=1$，$x_2=2$，
检验：当$x=1$时，$(x+2)(x-2)=(1+2)(1-2)=-3 \neq 0$，所以$x=1$是原方程的根；
当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=(2+2)(2-2)=0$，所以$x=2$是增根，应舍去，
所以，原方程的根是$x=1$。

例2 解方程：$\frac{8(x^2+2x)}{x^2-1}+\frac{3(x^2-1)}{x^2+2x}= 11$.
【分析】注意观察方程特点,可以看到分式$\frac{x^2+2x}{x^2-1}与\frac{x^2-1}{x^2+2x}$互为倒数.因此,可以设$\frac{x^2+2x}{x^2-1}= y$,即可将原方程化为一个较为简单的分式方程.
【解答】设$\frac{x^2+2x}{x^2-1}= y$,则$\frac{x^2-1}{x^2+2x}= \frac{1}{y}$.
原方程可化为：$8y+\frac{3}{y}= 11\Rightarrow8y^2-11y+3= 0\Rightarrow y= 1或y= \frac{3}{8}$.
(1)当$y= 1$时,$\frac{x^2+2x}{x^2-1}= 1\Rightarrow x^2+2x= x^2-1\Rightarrow x= -\frac{1}{2}$；
(2)当$y= \frac{3}{8}$时,$\frac{x^2+2x}{x^2-1}= \frac{3}{8}\Rightarrow8x^2+16x= 3x^2-3\Rightarrow5x^2+16x+3= 0\Rightarrow x= -3或x= -\frac{1}{5}$.
检验：把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0.
所以,原方程的解是$x= -\frac{1}{2}$,$x= -3$,$x= -\frac{1}{5}$.
说明：解分式方程就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程,体现了化归思想.

答案： 解：设$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 1} = y$，则$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x} = \frac{1}{y}$。
原方程可化为：$8y + \frac{3}{y} = 11$
两边同乘$y$得：$8y^2 - 11y + 3 = 0$
因式分解得：$(y - 1)(8y - 3) = 0$
解得：$y = 1$或$y = \frac{3}{8}$
（1）当$y = 1$时，$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 1} = 1$
两边同乘$x^2 - 1$得：$x^2 + 2x = x^2 - 1$
化简得：$2x = -1$
解得：$x = -\frac{1}{2}$
（2）当$y = \frac{3}{8}$时，$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 1} = \frac{3}{8}$
两边同乘$8(x^2 - 1)$得：$8(x^2 + 2x) = 3(x^2 - 1)$
展开得：$8x^2 + 16x = 3x^2 - 3$
移项化简得：$5x^2 + 16x + 3 = 0$
因式分解得：$(5x + 1)(x + 3) = 0$
解得：$x = -3$或$x = -\frac{1}{5}$
检验：将$x = -\frac{1}{2}$，$x = -3$，$x = -\frac{1}{5}$分别代入原方程分母$x^2 - 1$和$x^2 + 2x$，分母均不为$0$。
所以，原方程的解是$x = -\frac{1}{2}$，$x = -3$，$x = -\frac{1}{5}$。