《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

14. 已知方程$2x^2 - 3x - 3 = 0的两个根分别为a, b$,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是$a + 1$,$b + 1$.

答案： 根据题意得$a+b=\frac{3}{2},ab=-\frac{3}{2},$所以$a+1+b+1=a+b+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2},$$(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+1=1,$所以,以$a+1,b+1$为根的一元二次方程为$x^{2}-\frac{7}{2}x+1=0.$

1. 方程$x^2 + px + 1997 = 0恰有两个正整数根x_1, x_2$,则$\frac{p}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$的值是( )

A.1
B.-1
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： C

2. 设方程有一个正根$x_1$,一个负根$x_2$,则以$|x_1|, |x_2|$为根的一元二次方程为( )

A.$x^2 - 3x - m - 2 = 0$
B.$x^2 + 3x - m - 2 = 0$
C.$x^2 - \sqrt{1 - 4m}x - 2 = 0$
D.$x^2 - \sqrt{1 - 4m}x + 2 = 0$

答案： D

3. 已知$A, B$是两个锐角,且满足$\sin^2 A + \cos^2 B = \frac{5}{4}t$,$\cos^2 A + \sin^2 B = \frac{3}{4}t^2$,则实数$t$所有可能值的和为( )

A.$-\frac{8}{3}$
B.$-\frac{5}{3}$
C.1
D.$\frac{11}{3}$

答案： C

4. $\triangle ABC$的一边为5,另外两边的长恰好是方程$2x^2 - 12x + m = 0$的两个根,则$m$的取值范围是______.

答案： $\frac{11}{2}＜m\leqslant18$ 提示:设$\triangle ABC$另外两边的长分别为$x_{1},x_{2}$.由三角形的三边关系可得$|x_{1}-x_{2}|＜5$,则$(x_{1}-x_{2})^{2}＜25$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}＜25$,又$x_{1}+x_{2}=6,x_{1}\cdot x_{2}=\frac{m}{2}$,解得$m＞\frac{11}{2}$.因为方程有两个实数根,则$\Delta\geqslant0$,解得$m\leqslant18$.综上,$\frac{11}{2}＜m\leqslant18$.

5. 已知$x_1, x_2是一元二次方程4kx^2 - 4kx + k + 1 = 0$的两个实数根.
(1)是否存在实数$k$,使$(2x_1 - x_2)(x_1 - 2x_2) = -\frac{3}{2}$成立？若存在,求出$k$的值；若不存在,请说明理由.
(2)求使$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} - 2的值为整数的实数k$的整数值.

答案： （1）假设存在实数$k$,使$(2x_{1}-x_{2})(x_{1}-2x_{2})=-\frac{3}{2}$成立.
∵一元二次方程$4kx^{2}-4kx+k+1=0$有两个实数根,
∴$\left\{\begin{array}{l}4k\neq0,\\\Delta=(-4k)^{2}-4\cdot4k(k+1)=-16k\geqslant0\end{array}\right.\Rightarrow k＜0$,又$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$4kx^{2}-4kx+k+1=0$的两个实数根,
∴$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=1,\\x_{1}x_{2}=\frac{k+1}{4k},\end{array}\right.$
∴$(2x_{1}-x_{2})(x_{1}-2x_{2})=2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-5x_{1}x_{2}=2(x_{1}+x_{2})^{2}-9x_{1}x_{2}=-\frac{k+9}{4k}=-\frac{3}{2}\Rightarrow k=\frac{9}{5}$,但$k＜0$.
∴不存在实数$k$,使$(2x_{1}-x_{2})(x_{1}-2x_{2})=-\frac{3}{2}$成立.（2）
∵$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}-2=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}-2=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}-4=\frac{4k}{k+1}-4$.
∴要使其值是整数,只需$k+1$能被4整除,故$k+1=\pm1$,或$k+1=\pm2$,或$k+1=\pm4$,整数$k$的值为-2,-3,-5.