《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例 在实数范围内因式分解：
(1)$x^2 - 5x + 3$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{2}x - 3$；
(3)$3x^2 + 4xy - y^2$；
(4)$(x^2 - 2x)^2 - 7(x^2 - 2x) + 12$。
【分析】(1)(2)(3)首先令二次三项式为0,解一元二次方程得出方程的根,进而再利用上面的公式分解因式；(4)需利用十字相乘法以及解方程得出方程的根,进而分解因式。
【解答】(1)令$x^2 - 5x + 3 = 0$,
解得$x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$,$x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$。
故原式$=(x - \frac{5 + \sqrt{13}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{13}}{2})$。
(2)令$x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$,
解得$x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{5}$,$x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{5}$。
故原式$=(x - \sqrt{2} - \sqrt{5})(x - \sqrt{2} + \sqrt{5})$。
(3)令$3x^2 + 4xy - y^2 = 0$,
解得$x_1 = \frac{-2y + \sqrt{7}y}{3}$,$x_2 = \frac{-2y - \sqrt{7}y}{3}$。
故原式$=3(x - \frac{-2y + \sqrt{7}y}{3})(x - \frac{-2y - \sqrt{7}y}{3})$。
(4)原式$=(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 4)$
$=(x - 3)(x + 1)(x - 1 - \sqrt{5})(x - 1 + \sqrt{5})$。

答案： 【分析】：
本题主要考察了在实数范围内对二次多项式进行因式分解的能力，需要利用求根公式来找到多项式的根，并利用这些根来进行因式分解，对于包含变量的复杂表达式，需要先对方程进行整理，再利用求根公式求解。
【解答】：
(1)
令 $x^2 - 5x + 3 = 0$，
利用求根公式，解得：
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$，
故原式可以分解为：
$x^2 - 5x + 3 = (x - \frac{5 + \sqrt{13}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{13}}{2})$。
(2)
令 $x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$，
利用求根公式，解得：
$x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{5}, \quad x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{5}$，
故原式可以分解为：
$x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = (x - \sqrt{2} - \sqrt{5})(x - \sqrt{2} + \sqrt{5})$。
(3)
令 $3x^2 + 4xy - y^2 = 0$，
将y看做常数，利用求根公式，解得：
$x_1 = \frac{-2y + \sqrt{7}y}{3}, \quad x_2 = \frac{-2y - \sqrt{7}y}{3}$，
故原式可以分解为：
$3x^2 + 4xy - y^2 = 3(x - \frac{-2y + \sqrt{7}y}{3})(x - \frac{-2y - \sqrt{7}y}{3})$。
(4)
考虑原式 $(x^2 - 2x)^2 - 7(x^2 - 2x) + 12$，
令 $x^2 - 2x = t$，则原式变为：
$t^2 - 7t + 12$，
因式分解得 ：
$(t - 3)(t - 4)$，
将 $t$ 替换回 $x^2 - 2x$，得 ：
$(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 4)$，
进一步因式分解得：
$(x - 3)(x + 1)(x - 1 - \sqrt{5})(x - 1 + \sqrt{5})$。

在实数范围内分解因式：
1. $2x^2 - 2\sqrt{2}x + \frac{1}{2}$；
2. $-2x^2 - 3x + 6$；
3. $x^2 + 2(\sqrt{3} + 1)x + 2\sqrt{3}$；
4. $(x^2 - 1)(x^2 + 2) - 70$。

答案： 1. $2\left(x-\frac{\sqrt{2}+1}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)$
2. $-2\left(x+\frac{3+\sqrt{57}}{4}\right)\left(x+\frac{3-\sqrt{57}}{4}\right)$
3. $(x+\sqrt{3}-1)(x+\sqrt{3}+3)$
4. $(x^{2}+9)(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})$