《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例3 把下列各式分母有理化：
(1)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$；(2)$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}$；(3)$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.
【分析】找出有理化因式,将分子和分母同时乘各自的有理化因式,即可达到化简的目的.
【解答】(1)原式$=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{10}}{5}$.
(2)原式$=\frac{(3\sqrt{2}-\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3})}$
$=\frac{18-6\sqrt{6}+3}{18-3}$
$=\frac{21-6\sqrt{6}}{15}$
$=\frac{7-2\sqrt{6}}{5}$.
(3)原式$=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$=\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

答案： 【解析】：
题目要求分母有理化，需要找到每个式子的有理化因式，并将分子和分母同时乘以这个有理化因式。
(1) 对于$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，有理化因式为$\sqrt{5}$，所以分子分母同时乘以$\sqrt{5}$即可。
(2) 对于$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}$，有理化因式为$3\sqrt{2}-\sqrt{3}$，将分子分母同时乘以这个有理化因式，并化简。
(3) 对于$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$，有理化因式为$\sqrt{a}-\sqrt{b}$，但考虑到$a-b$可以写成$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$，所以可以直接化简。
【答案】：
(1)解：
原式$=\frac{\sqrt{2} × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}}$
$=\frac{\sqrt{10}}{5}$
(2)解：
原式$=\frac{(3\sqrt{2}-\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3})}$
$=\frac{18 - 6\sqrt{6} + 3}{18 - 3}$
$=\frac{21 - 6\sqrt{6}}{15}$
$=\frac{7 - 2\sqrt{6}}{5}$
(3)解：
原式$=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

例4 试比较大小：
(1)$\sqrt{17}-\sqrt{15}与\sqrt{15}-\sqrt{13}$；
(2)$\sqrt{11}+\sqrt{7}与\sqrt{13}+\sqrt{5}$.
【分析】(1)这是两个无理数,要比较其大小,考虑到它们被开方数的差相等,可采用倒数法或分子有理化的方法；(2)若被开方数的和相等,可以考虑用完全平方法.
【解答】
(1)方法一：$\sqrt{17}-\sqrt{15}$
$=\frac{(\sqrt{17}-\sqrt{15})(\sqrt{17}+\sqrt{15})}{\sqrt{17}+\sqrt{15}}$
$=\frac{2}{\sqrt{17}+\sqrt{15}}$,
$\sqrt{15}-\sqrt{13}$
$=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$
$=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$,
化简后的两个正数,分子相同,分母不同,所以分母大的反而小,即$\sqrt{17}-\sqrt{15}＜\sqrt{15}-\sqrt{13}$.
方法二：$\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{15}}$
$=\frac{(\sqrt{17}+\sqrt{15})}{(\sqrt{17}-\sqrt{15})(\sqrt{17}+\sqrt{15})}$
$=\frac{\sqrt{17}+\sqrt{15}}{2}$,
$\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$
$=\frac{(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}$
$=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}$,
化简后的两个正数,分母相同,分子不同,所以倒数大的反而小,即$\sqrt{17}-\sqrt{15}＜\sqrt{15}-\sqrt{13}$.
(2)$(\sqrt{11}+\sqrt{7})^2= 11+7+2\sqrt{77}= 18+2\sqrt{77}$,
$(\sqrt{13}+\sqrt{5})^2= 13+5+2\sqrt{65}= 18+2\sqrt{65}$.
因为$\sqrt{11}+\sqrt{7}＞0$,$\sqrt{13}+\sqrt{5}＞0$,且$18+2\sqrt{77}＞18+2\sqrt{65}$,
所以$\sqrt{11}+\sqrt{7}＞\sqrt{13}+\sqrt{5}$.

答案：
(1)解：$\sqrt{17}-\sqrt{15}=\frac{(\sqrt{17}-\sqrt{15})(\sqrt{17}+\sqrt{15})}{\sqrt{17}+\sqrt{15}}=\frac{2}{\sqrt{17}+\sqrt{15}}$，
$\sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$，
因为$\sqrt{17}+\sqrt{15}＞\sqrt{15}+\sqrt{13}＞0$，所以$\frac{2}{\sqrt{17}+\sqrt{15}}＜\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$，即$\sqrt{17}-\sqrt{15}＜\sqrt{15}-\sqrt{13}$。
(2)解：$(\sqrt{11}+\sqrt{7})^2=11 + 7 + 2\sqrt{77}=18 + 2\sqrt{77}$，
$(\sqrt{13}+\sqrt{5})^2=13 + 5 + 2\sqrt{65}=18 + 2\sqrt{65}$，
因为$\sqrt{77}＞\sqrt{65}$，所以$18 + 2\sqrt{77}＞18 + 2\sqrt{65}$，
又因为$\sqrt{11}+\sqrt{7}＞0$，$\sqrt{13}+\sqrt{5}＞0$，所以$\sqrt{11}+\sqrt{7}＞\sqrt{13}+\sqrt{5}$。