《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例3 某农场开挖一条长960m的渠道,开工后每天比原计划多挖20m,结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米？
【分析】本题中给出了三个量,分别是工作量、工作时间、工作效率.寻找题目中的等量关系,本题的等量关系比较明显：实际工作时间= 原计划工作时间-4(或其他表示等量关系的等式).
【解答】设原计划每天挖$x$m,那么开工后每天挖$(x+20)$m.
根据题意,得$\frac{960}{x}-4= \frac{960}{x+20}$.
去分母、整理,得$x^2+20x-4800= 0$.
解得$x_1= 60$,$x_2= -80$.
经检验,$x_1= 60$,$x_2= -80$都是原方程的根,由于负数不合题意,舍去,所以$x= 60$.
答：原计划每天挖60m.

答案： 【解析】：
本题考查了分式方程的应用，通过设定原计划每天的挖掘量，利用工作时间的关系建立等式。
设原计划每天挖$x$米，则开工后每天挖$x+20$米。
原计划完成时间是$\frac{960}{x}$天，实际完成时间是$\frac{960}{x+20}$天。
根据题意，实际完成时间比原计划少4天，所以有等式$\frac{960}{x} - \frac{960}{x+20} = 4$。
去分母，得到$960(x+20) - 960x = 4x(x+20)$。
整理后得到一元二次方程$x^2 + 20x - 4800 = 0$。
解此方程，得到$x_1 = 60$, $x_2 = -80$。
由于工作效率不能是负数，所以$x_2 = -80$不符合实际情况，舍去。
因此，原计划每天挖$60$米。
【答案】：
$x = 60$

练一练初中试题
1. 在方程①$\frac{x-7}{3}= 8+\frac{x-15}{2}$；②$\frac{6-\frac{1}{2}x}{6}= x$；③$\frac{8}{x^2-1}= \frac{x+8}{x-1}$；④$x-\frac{1-\frac{1}{x}}{x}= 0$中,是分式方程的有( )

A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.①和④

答案： C

2. 下列4组解是方程$\frac{x^2-4}{2-x}= 0$的根的是( )

A.$x= 2$
B.$x_1= -2$,$x_2= 2$
C.$x= 4$
D.$x= -2$

答案： D

3. 若关于$x的分式方程\frac{1}{x-1}= \frac{2m}{x^2-1}的解为x= 5$,则$m$的值是( )

A.1
B.3
C.6
D.9

答案： B

4. 若分式方程$\frac{3}{x^2-4}= \frac{x-1+m}{x+2}$有增根,则它的增根是( )

A.1
B.2或$-2$
C.$-2$
D.2

答案： C

5. 解分式方程$\frac{3x}{x^2-1}-\frac{2x^2-2}{x}= \frac{5}{2}$时,设$y= \frac{x}{x^2-1}$,则原方程可化为( )

A.$3y-\frac{2}{y}= \frac{5}{2}$
B.$3y+\frac{2}{y}= \frac{5}{2}$
C.$\frac{y}{3}+\frac{2}{y}= \frac{5}{2}$
D.$\frac{y}{3}-\frac{2}{y}= \frac{5}{2}$

答案： A

6. 方程$x^2+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}= 4$的解是( )

A.$1$,$\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
D.$1$,$\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

答案： A

7. 甲、乙两人同时从A地出发,骑自行车到B地,已知A、B两地的距离为30km,甲每小时比乙多走3km,并且比乙先到40min.设乙每小时走$x$km,则可列方程为( )

A.$\frac{30}{x}-\frac{30}{x-3}= \frac{2}{3}$
B.$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+3}= \frac{2}{3}$
C.$\frac{30}{x+3}-\frac{30}{x}= \frac{2}{3}$
D.$\frac{30}{x-3}-\frac{30}{x}= \frac{2}{3}$

答案： B