《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例3 若$x_1和x_2为一元二次方程x^2 + 2x - 1 = 0$的两个根,则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. $4\sqrt{2}$
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出$x_1 + x_2 = -2$,$x_1 x_2 = -1$,化简代入求值即可.
【解答】∵$x_1和x_2为一元二次方程x^2 + 2x - 1 = 0$的两个根,
∴$x_1 + x_2 = -2$,$x_1 x_2 = -1$.
∵$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2) = -1 × (-2) = 2$.
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故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,因式分解,代数式求值,利用一元二次方程根与系数的关系求出$x_1 + x_2$,$x_1 x_2$是解题的关键.

答案： 【解析】：
根据一元二次方程的根与系数关系，对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若 $x_1$ 和 $x_2$ 是其两个根，则有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 和 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
对于给定的方程 $x^2 + 2x - 1 = 0$，可以得到 $x_1 + x_2 = -2$ 和 $x_1x_2 = -1$。
要求 $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$ 的值，观察到这个表达式可以化简为 $x_1x_2(x_1 + x_2)$。
代入 $x_1 + x_2 = -2$ 和 $x_1x_2 = -1$，得到 $x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = -1 × (-2) = 2$。
【答案】：
A. 2。

1. 下列关于$x的方程x^2 + 2kx + k - 1 = 0$的根的情况描述正确的是( )

A.$k$为任何实数,方程都没有实数根
B.$k$为任何实数,方程都有两个不相等的实数根
C.$k$为任何实数,方程都有两个相等的实数根
D.根据$k$的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

答案： B

2. 关于$x的一元二次方程x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0$的两个实数根互为相反数,则$a$的值为( )

A.2
B.0
C.1
D.2或0

答案： B

3. 若关于$x$ 的一元二次方程$x^2 - 3x + p = 0(p \neq 0)的两个不相等的实数根分别为a和b$,且$a^2 - ab + b^2 = 18$,则$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值是( )

A.3
B.-3
C.5
D.-5

答案： D

4. 定义运算：$a★b = a(1 - b)$.若$a, b是方程x^2 - x + \frac{1}{4}m = 0(m ＜ 0)$的两根,则$b★b - a★a$的值为( )

A.0
B.1
C.2
D.与$m$有关

答案： A