《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

8. 先阅读：分解因式$x^2 - 2xy + y^2 - z^2$.
解：$x^2 - 2xy + y^2 - z^2$
$=(x - y)^2 - z^2$
$=(x - y + z)(x - y - z)$.
解答下列问题：
(1)分解因式：
① $4x^2 - 4xy + y^2 - z^2$；
② $1 - m^2 - n^2 + 2mn$.
(2)若$a,b,c为\triangle ABC$的三边长,试判断代数式$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$的值的正负.

答案： （1）①$4x^{2}-4xy+y^{2}-z^{2}$
$=(2x-y)^{2}-z^{2}$
$=(2x-y+z)(2x-y-z)$.
②$1-m^{2}-n^{2}+2mn$
$=1-(m^{2}-2mn+n^{2})$
$=1-(m-n)^{2}$
$=(1+m-n)(1-m+n)$.
（2）$a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}=(a-b+c)(a-b-c)$.
因为a,b,c为$\triangle ABC$的三边长，
所以$a+c-b＞0,a-b-c＜0$,
所以$(a-b+c)(a-b-c)＜0$,
即$a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}＜0$,故$a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}$的值为负数.