《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例3 若$x^{2}-y^{2}+mx+5y-6$能分解为两个一次因式的积,则$m$的值为( )
A. 1
B. -1
C. ±1
D. 2
【分析】对二元二次多项式分解因式时,要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积,再通过待定系数法确定其系数,这是一种常用的方法.
【解答】$x^{2}-y^{2}+mx+5y-6= (x+y)(x-y)+mx+5y-6$,-6可分解成$(-2)×3或(-3)×2$,因此存在两种情况:

① ②
由①可得$m= 1$,由②可得$m= -1$.
故选C.

答案： 解：$x^{2}-y^{2}+mx+5y-6=(x+y)(x-y)+mx+5y-6$，
设原式可分解为$(x + y + a)(x - y + b)$，
展开得：$x^{2}-y^{2}+(a + b)x+(b - a)y + ab$，
对比系数可得：$\begin{cases}ab=-6\\b - a=5\\a + b=m\end{cases}$，
由$ab=-6$，$b - a=5$，
解得$\begin{cases}a=-2\\b=3\end{cases}$或$\begin{cases}a=2\\b=-3\end{cases}$，
当$a=-2$，$b=3$时，$m=a + b=1$；
当$a=2$，$b=-3$时，$m=a + b=-1$，
故$m=\pm1$，选C。

例4 已知长方形的长、宽分别为$x$,$y$,周长为16 cm,且满足$x-y-x^{2}+2xy-y^{2}+2= 0$,求长方形的面积.
【分析】要求长方形的面积,需借助题目中的条件求出长方形的长和宽.
【解答】因为$x-y-x^{2}+2xy-y^{2}+2= 0$,所以$(x^{2}-2xy+y^{2})-(x-y)-2= 0$,所以$(x-y)^{2}-(x-y)-2= 0$,所以$(x-y-2)(x-y+1)= 0$,所以$x-y-2= 0或x-y+1= 0$.
又因为$x+y= 16÷2= 8$,所以$\left\{\begin{array}{l} x-y-2= 0,\\ x+y= 8\end{array} \right.或\left\{\begin{array}{l} x-y+1= 0,\\ x+y= 8,\end{array} \right.解得\left\{\begin{array}{l} x= 5,\\ y= 3\end{array} \right.或\left\{\begin{array}{l} x= 3.5,\\ y= 4.5.\end{array} \right.所以长方形的面积为15\ cm^2或15.75\ cm^2$.

答案： 解：因为长方形周长为16 cm，所以$x + y = 8$。
又因为$x - y - x^2 + 2xy - y^2 + 2 = 0$，整理得$(x^2 - 2xy + y^2) - (x - y) - 2 = 0$，即$(x - y)^2 - (x - y) - 2 = 0$。
因式分解得$(x - y - 2)(x - y + 1) = 0$，所以$x - y - 2 = 0$或$x - y + 1 = 0$。
情况一：$\begin{cases}x - y = 2 \\ x + y = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = 3\end{cases}$，面积为$5×3 = 15\space cm^2$。
情况二：$\begin{cases}x - y = -1 \\ x + y = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3.5 \\ y = 4.5\end{cases}$，面积为$3.5×4.5 = 15.75\space cm^2$。
综上，长方形面积为$15\space cm^2$或$15.75\space cm^2$。

例5 若$x^{3}+5x^{2}+7x+a有一因式x+1$,求$a$的值,并将原式因式分解.
【分析】由条件知当$x= -1$时多项式的值为0,代入求得$a$,再利用原式有一个因式是$x+1$,分解时尽量出现$x+1$,从而分解彻底.
【解答】因为$x^{3}+5x^{2}+7x+a有一因式x+1$,所以当$x+1= 0$,即$x= -1$时,$x^{3}+5x^{2}+7x+a= 0$,所以$a= 3$.
$x^{3}+5x^{2}+7x+3$
$=x^{3}+x^{2}+4x^{2}+4x+3x+3$
$=x^{2}(x+1)+4x(x+1)+3(x+1)$
$=(x+1)(x^{2}+4x+3)$
$=(x+1)(x+1)(x+3)$
$=(x+1)^{2}(x+3)$.

答案： 解：因为$x^{3}+5x^{2}+7x+a$有一因式$x+1$，所以当$x=-1$时，$x^{3}+5x^{2}+7x+a=0$，即$(-1)^{3}+5×(-1)^{2}+7×(-1)+a=0$，解得$a=3$。
$x^{3}+5x^{2}+7x+3$
$=x^{3}+x^{2}+4x^{2}+4x+3x+3$
$=x^{2}(x+1)+4x(x+1)+3(x+1)$
$=(x+1)(x^{2}+4x+3)$
$=(x+1)(x+1)(x+3)$
$=(x+1)^{2}(x+3)$
综上，$a$的值为$3$，原式因式分解的结果为$(x+1)^{2}(x+3)$。

1. 在多项式①$x^{2}+7x+6$;②$x^{2}+4x+3$;③$x^{2}+6x+8$;④$x^{2}+7x+10$;⑤$x^{2}+15x+44$中,有相同因式的是( )

A.只有①②
B.只有③④
C.只有③⑤
D.①和②;③和④;③和⑤

答案： D

2. 若多项式$x^{2}-3x+a可分解为(x-5)(x-b)$,则$a$,$b$的值是( )

A.$a= 10$,$b= 2$
B.$a= 10$,$b= -2$
C.$a= -10$,$b= -2$
D.$a= -10$,$b= 2$

答案： C