《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例 已知抛物线$y= -x^2+(m-1)x+m$与y轴交于点$(0,3)$.
(1)求出$m$的值并画出这条抛物线；
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)$x$取什么值时,抛物线在x轴上方？
(4)$x$取什么值时,$y的值随x$值的增大而减小？
【分析】(1)直接把点$(0,3)代入抛物线解析式求m$,确定抛物线解析式,根据解析式确定抛物线的顶点坐标,对称轴,开口方向,与x轴及y轴的交点,画出图像.
(2)(3)(4)可以通过(1)的图像及计算得到.
【解答】(1)由抛物线$y= -x^2+(m-1)x+m$与y轴交于点$(0,3)$,
解得$m= 3$.
$\therefore抛物线为y= -x^2+2x+3= -(x-1)^2+4$.
列表得：

|$x$|$-1$|$0$|$1$|$2$|$3$|
|$y$|$0$|$3$|$4$|$3$|$0$|
图像如下：

(2)由$-x^2+2x+3= 0$,得$x_1= -1$,$x_2= 3$.
$\therefore$抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$,$(3,0)$.
$\because y= -x^2+2x+3= -(x-1)^2+4$；
$\therefore抛物线顶点坐标为(1,4)$.
(3)由图像可知：当$-1＜x＜3$时,抛物线在x轴上方.
(4)由图像可知：当$x＞1$时,$y的值随x$值的增大而减小.
【解题反思】需要熟练掌握二次函数的图像与性质,及画图与读图能力.

答案：
(1)解：
∵抛物线$y = -x^2+(m - 1)x + m$与$y$轴交于点$(0,3)$，
$\therefore 3 = 0 + 0 + m$，解得$m = 3$。
$\therefore$抛物线解析式为$y=-x^2 + 2x + 3=-(x - 1)^2+4$。
列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ |
图像如下：
（此处应根据列表数据画出抛物线，顶点$(1,4)$，过点$(-1,0)$，$(0,3)$，$(2,3)$，$(3,0)$）
(2)解：令$y = 0$，则$-x^2+2x + 3=0$，
即$x^2-2x - 3=0$，
$(x - 3)(x + 1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2 = 3$。
$\therefore$与$x$轴交点为$(-1,0)$，$(3,0)$。
$\because y=-(x - 1)^2 + 4$，
$\therefore$顶点坐标为$(1,4)$。
(3)解：由图像可知，当$-1 ＜ x ＜ 3$时，抛物线在$x$轴上方。
(4)解：$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 1$，
$\therefore$当$x＞1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小。