《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 已知方程$5x^2 + kx - 6 = 0$的一个根是2,求它的另一个根及$k$的值.
【分析】由于已知方程的一个根,于是可以直接将这一根代入,求出$k$的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出$k$的值.
【解答】方法一：因为2是方程的一个根,所以$5 × 2^2 + k × 2 - 6 = 0$,所以$k = -7$,所以方程为$5x^2 - 7x - 6 = 0$,解得$x_1 = 2$,$x_2 = -\frac{3}{5}$,所以方程的另一个根为$-\frac{3}{5}$,$k的值为-7$.
方法二：设方程的另一个根为$x_1$,则$2x_1 = -\frac{6}{5}$,所以$x_1 = -\frac{3}{5}$.由$(-\frac{3}{5}) + 2 = -\frac{k}{5}$,得$k = -7$,所以方程的另一个根为$-\frac{3}{5}$,$k的值为-7$.

答案： 解：方法一：
因为2是方程的一个根，
所以$5×2^2 + k×2 - 6 = 0$，
解得$k = -7$，
则方程为$5x^2 - 7x - 6 = 0$，
解方程得$x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{3}{5}$，
所以方程的另一个根为$-\frac{3}{5}$，$k$的值为$-7$。
方法二：
设方程的另一个根为$x_1$，
由韦达定理得$2x_1 = -\frac{6}{5}$，
解得$x_1 = -\frac{3}{5}$，
又由$2 + (-\frac{3}{5}) = -\frac{k}{5}$，
解得$k = -7$，
所以方程的另一个根为$-\frac{3}{5}$，$k$的值为$-7$。

例2 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
【分析】我们可以设出这两个数分别为$x$、$y$,利用二元一次方程组求解出这两个数；也可以利用韦达定理转化为一元二次方程来求解.
【解答】方法一：设这两个数分别是$x, y$,
则$\begin{cases} x + y = 4,① \\ xy = -12.② \end{cases} $由①,得$y = 4 - x$,
代入②,得$x(4 - x) = -12$,
即$x^2 - 4x - 12 = 0$,所以$x_1 = -2$,$x_2 = 6$.
所以$\begin{cases} x_1 = -2, \\ y_1 = 6 \end{cases} 或\begin{cases} x_2 = 6, \\ y_2 = -2. \end{cases} $
因此,这两个数是-2和6.
方法二：由韦达定理可知这两个数是方程$x^2 - 4x - 12 = 0$的两个根.
解这个方程,得$x_1 = -2$,$x_2 = 6$.
所以这两个数是-2和6.
说明：从上面的两种解法我们不难发现,方法二(直接利用韦达定理来解题)要比方法一简捷.

答案： 解：方法一：设这两个数分别是$x$，$y$，
则$\begin{cases} x + y = 4,① \\ xy = -12.② \end{cases}$
由①，得$y = 4 - x$，
代入②，得$x(4 - x) = -12$，
即$x^2 - 4x - 12 = 0$，
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 6$。
当$x_1 = -2$时，$y_1 = 4 - (-2) = 6$；
当$x_2 = 6$时，$y_2 = 4 - 6 = -2$。
所以这两个数是$-2$和$6$。
方法二：由根与系数的关系可知，这两个数是方程$x^2 - 4x - 12 = 0$的两个根。
解方程$x^2 - 4x - 12 = 0$，
$(x + 2)(x - 6) = 0$，
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 6$。
所以这两个数是$-2$和$6$。
综上，这两个数是$-2$和$6$。