《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

5. 规定：如果关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：
① 方程$x^2 + 2x - 8 = 0$是倍根方程；
② 若关于$x的方程x^2 + ax + 2 = 0$是倍根方程,则$a = \pm 3$；
③ 若关于$x的方程ax^2 - 6ax + c = 0(a \neq 0)$是倍根方程,则抛物线$y = ax^2 - 6ax + c与x轴的公共点的坐标是(2, 0)和(4, 0)$；
④ 若点$(m, n)在反比例函数y = \frac{4}{x}$的图像上,则关于$x的方程mx^2 + 5x + n = 0$是倍根方程.
上述结论正确的有( )

A.①②
B.③④
C.②③
D.②④

答案： C

6. 已知$a, b是方程x^2 - 3x + 1 = 0$的两根,且$a ＞ b$,则$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$的值是( )

A.$\frac{1}{5}$
B.5
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{5}$

答案： C

7. 若矩形的长和宽是方程$2x^2 - 16x + m = 0(0 ＜ m \leq 32)$的两根,则矩形的周长为______.

答案： 16

8. 已知$x_1, x_2是关于x的一元二次方程x^2 - 5x + a = 0$的两个实数根,且$x_1^2 - x_2^2 = 10$,则$a = $______.

答案： $\frac{21}{4}$

9. 已知$\alpha, \beta是方程x^2 - 3x - 4 = 0$的两个实数根,则$\alpha^2 + \alpha \beta - 3\alpha$的值为______.

答案： 0

10. 若一元二次方程$ax^2 = b(ab ＞ 0)的两个根分别是m + 1与2m - 4$,则$\frac{b}{a} = $______.

答案： 4

11. 设$\alpha, \beta是方程(x + 1)(x - 4) = -5$的两个实数根,则$\frac{\beta^3}{\alpha} + \frac{\alpha^3}{\beta} = $______.

答案： 47

12. 对于一切不小于2的自然数$n$,关于$x的一元二次方程x^2 - (n + 2)x - 2n^2 = 0的两个根记作a_n, b_n(n \geq 2)$,则$\frac{1}{(a_2 - 2)(b_2 - 2)} + \frac{1}{(a_3 - 2)(b_3 - 2)} + … + \frac{1}{(a_{2018} - 2)(b_{2018} - 2)} = $______.

答案： $-\frac{2017}{8076}$

13. 若$x_1, x_2是方程x^2 + 2x - 2018 = 0$的两个根,试求下列各式的值；
(1)$x_1^2 + x_2^2$；
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；
(3)$(x_1 - 5)(x_2 - 5)$；
(4)$|x_1 - x_2|$.

答案： （1）4 040 （2）$\frac{1}{1009}$ （3）-1 983（4）$2\sqrt{2019}$