《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 如图1,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A= 90^{\circ}$,$\tan B= \frac{3}{4}$,点$P在线段AB$上运动,点$Q,R分别在线段BC,AC$上,且使得四边形$APQR$是矩形.设$AP的长为x$,矩形$APQR的面积为y$,已知$y是x$的函数,其图像是过点$(12,36)$的抛物线的一部分(如图2所示).
(1)求$AB$的长;
(2)当$AP$为何值时,矩形$APQR$的面积最大?并求出最大值.
为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论:
张明:"图2中的抛物线过点$(12,36)$在图1中表示什么呢?"
李明:"因为抛物线上的点$(x,y)$是表示图1中$AP的长与矩形APQR$面积的对应关系,那么$(12,36)表示当AP= 12$时,$AP的长与矩形APQR$面积的对应关系."
赵明:"对,我知道纵坐标36是什么意思了!"
孔明:"哦,这样就可以算出$AB$,这个问题就可以解决了."
请根据上述对话,帮他们解答这个问题.


【分析】由他们的对话内容可知当$AP= 12$时,矩形面积为36,就可以求出$PQ$,从而求出$BP$,即得$AB$的长度.对于(2),只要将矩形的面积用含$x$的二次函数表示出来,运用性质求出最大值.
【解答】(1)当$AP= 12$时,$AP\cdot PQ= 36$,所以$PQ= 3$.
在$Rt\triangle BPQ$中,$\tan B= \frac{3}{4}$,所以$\frac{PQ}{PB}= \frac{3}{4}$,所以$PB= 4$,所以$AB= AP+PB= 12+4= 16$.
(2)解法一:由$AB= 16$,结合图像可知抛物线经过点$(0,0)$,$(16,0)$,$(12,36)$,可设抛物线的解析式为$y= ax(x-16)$,将$(12,36)代入求得a= -\frac{3}{4}$,所以$y= -\frac{3}{4}x(x-16)$,整理,得$y= -\frac{3}{4}(x-8)^{2}+48$,所以当$x= 8$时,$y_{最大}= 48$.
解法二:由$AB= 16$,结合图像可知抛物线经过点$(0,0)$,$(16,0)$,则抛物线的对称轴为$x= 8$,所以抛物线顶点的横坐标为8,所以当$AP= 8$时,矩形$APQR$的面积最大,此时$PB= 8$,所以$PQ= 8×\frac{3}{4}= 6$,所以最大面积为48.

答案：
(1)解：当$AP = 12$时，矩形$APQR$的面积$y = 36$，因为矩形面积$y=AP\cdot PQ$，所以$PQ=\frac{y}{AP}=\frac{36}{12} = 3$。
在$Rt\triangle BPQ$中，$\tan B=\frac{3}{4}$，$\tan B=\frac{PQ}{PB}$，即$\frac{3}{PB}=\frac{3}{4}$，解得$PB = 4$。
所以$AB=AP + PB=12 + 4=16$。
(2)解法一：解：由$AB = 16$，结合图像可知抛物线经过点$(0,0)$，$(16,0)$，$(12,36)$。
设抛物线解析式为$y=ax(x - 16)$，将$(12,36)$代入得：$36=a×12×(12 - 16)$，即$36=a×12×(- 4)$，$36=- 48a$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
所以$y=-\frac{3}{4}x(x - 16)=-\frac{3}{4}x^{2}+12x=-\frac{3}{4}(x^{2}-16x)=-\frac{3}{4}(x - 8)^{2}+48$。
所以当$x = 8$时，$y$有最大值$48$，即当$AP = 8$时，矩形$APQR$面积最大，最大值为$48$。
解法二：解：由$AB = 16$，结合图像可知抛物线经过点$(0,0)$，$(16,0)$，所以抛物线对称轴为直线$x=\frac{0 + 16}{2}=8$。
因为抛物线开口向下，所以顶点为最大值点，当$x = 8$时，$y$最大。
此时$AP = 8$，$PB=AB - AP=16 - 8 = 8$。
在$Rt\triangle BPQ$中，$\tan B=\frac{PQ}{PB}=\frac{3}{4}$，所以$PQ=\frac{3}{4}PB=\frac{3}{4}×8 = 6$。
矩形面积$y=AP\cdot PQ=8×6 = 48$。
即当$AP = 8$时，矩形$APQR$面积最大，最大值为$48$。