《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 分解因式:
(1)$x^{2}-3x+2$;
(2)$x^{2}+4x-12$;
(3)$x^{2}-(a+b)xy+aby^{2}$;
(4)$xy-1+x-y$;
(5)$a^{2}-2ab-3b^{2}$;
(6)$(x^{2}+x)^{2}-8(x^{2}+x)+12$.
【解答】(1)如图1,将二次项$x^{2}分解成图中的两个x$的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为$-3x$,就是$x^{2}-3x+2$中的一次项,所以有$x^{2}-3x+2= (x-1)(x-2)$.
说明:在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1中的两个$x$用1来表示(如图2所示).
(2)由图3,得$x^{2}+4x-12= (x-2)(x+6)$.
(3)由图4,得$x^{2}-(a+b)xy+aby^{2}= (x-ay)(x-by)$.
(4)由图5,得$xy-1+x-y= xy+(x-y)-1= (x-1)(y+1)$.
(5)原式$=(a-3b)(a+b)$.
(6)原式$=(x^{2}+x-2)(x^{2}+x-6)= (x+2)(x-1)(x+3)(x-2)$.

答案： 【解析】：本题主要考查了十字相乘法分解因式。
（1）对于$x^{2}-3x+2$，需要找到两个数，它们的和为-3，乘积为2。
这两个数是-1和-2。
因此，可以将$x^{2}-3x+2$分解为$(x-1)(x-2)$。
（2）对于$x^{2}+4x-12$，需要找到两个数，它们的和为4，乘积为-12。
这两个数是6和-2。
因此，可以将$x^{2}+4x-12$分解为$(x-2)(x+6)$。
（3）对于$x^{2}-(a+b)xy+aby^{2}$，需要找到两个数，它们的和为-(a+b)，乘积为ab。
这两个数是-a和-b。
因此，可以将$x^{2}-(a+b)xy+aby^{2}$分解为$(x-ay)(x-by)$。
（4）对于$xy-1+x-y$，可以先进行分组，得到$xy+(x-y)-1$。
然后，可以利用十字相乘法，将$xy+(x-y)-1$分解为$(x-1)(y+1)$。
（5）对于$a^{2}-2ab-3b^{2}$，需要找到两个数，它们的和为-2，乘积为-3。
这两个数是-3和1。
因此，可以将$a^{2}-2ab-3b^{2}$分解为$(a-3b)(a+b)$。
（6）对于$(x^{2}+x)^{2}-8(x^{2}+x)+12$，可以先将$(x^{2}+x)$看作一个整体，记为A。
那么原式变为$A^{2}-8A+12$。
需要找到两个数，它们的和为-8，乘积为12。
这两个数是-2和-6。
因此，可以将$A^{2}-8A+12$分解为$(A-2)(A-6)$。
将A替换回$(x^{2}+x)$，得到$(x^{2}+x-2)(x^{2}+x-6)$。
然后，再对$(x^{2}+x-2)$和$(x^{2}+x-6)$分别进行因式分解，得到$(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)$。
【答案】：
(1)$(x-1)(x-2)$；
(2)$(x-2)(x+6)$；
(3)$(x-ay)(x-by)$；
(4)$(x-1)(y+1)$；
(5)$(a-3b)(a+b)$；
(6)$(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)$。

例2 分解因式:
(1)$5x^{2}+6x-8$;
(2)$14x^{2}-67xy+18y^{2}$.
【分析】(1)中的5可分为$1×5$,-8可分为$-1×8$、$-2×4$、$-4×2$、$-8×1$.当二次项系数分为$1×5$、常数项分为$2×(-4)$时,才符合本题;(2)把$14x^{2}-67xy+18y^{2}看成是一个关于x$的二次三项式,则14可分为$1×14$、$2×7$,$18y^{2}可分为y·18y$、$2y·9y$、$3y·6y$.
【解答】(1)原式$=(x+2)(5x-4)$.
(2)原式$=(2x-9y)(7x-2y)$.

答案： 【解析】：
这道题目考察的是因式分解，特别是使用十字相乘法进行因式分解。
对于第一个式子 $5x^{2}+6x-8$，需要找到两个数，它们的乘积是 $5 × (-8) = -40$，且它们的和是 $6$。这两个数分别是 $10$ 和 $-4$（因为 $10 × (-4) = -40$ 且 $10 + (-4) = 6$，但需要注意，我们需要的是二次项系数分为 $1 × 5$，常数项分为 $2 × (-4)$ 的组合，以满足十字相乘法的条件）。因此，可以将原式重写为 $(x+2)(5x-4)$。
对于第二个式子 $14x^{2}-67xy+18y^{2}$，需要找到两个数，它们的乘积是 $14 × 18 = 252$，且它们与 $y$ 的乘积之和是 $-67y$。这两个数分别是 $-9y$ 和 $-2y$ 的 $14$ 倍与 $2$ 倍（即 $-63y$ 和 $-14y$，但需要注意分配到 $x$ 的系数上，以满足十字相乘法的条件）。因此，可以将原式重写为 $(2x-9y)(7x-2y)$。
【答案】：
(1) 原式 $= (x+2)(5x-4)$
(2) 原式 $= (2x-9y)(7x-2y)$