《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

1. 如果$a+b= \sqrt{\sqrt{2016}+2}$,$a-b= \sqrt{\sqrt{2016}-2}$,$|b^3+c^3|= b^3-c^3$,那么$a^3b^3-c^3$的值为 ( )

A.$2016\sqrt{2016}$
B.2015
C.1
D.0

答案： C 提示：由 $(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$，得 $(\sqrt{2016}+2)-(\sqrt{2016}-2)=4ab$，解得 $ab = 1$。
若 $b^{3}+c^{3}＜0$，则由 $|b^{3}+c^{3}|=-b^{3}-c^{3}=b^{3}-c^{3}$，解得 $b^{3}=0$，与 $ab = 1$ 矛盾，故 $b^{3}+c^{3}\geqslant0$，$|b^{3}+c^{3}|=b^{3}+c^{3}=b^{3}-c^{3}$，解得 $c = 0$，所以 $a^{3}b^{3}-c^{3}=a^{3}b^{3}=1$。故选 C。

2. 阅读理解：我们知道,若两个有理数的积是1,则称这两个有理数互为倒数.同样地,当两个实数$(a+\sqrt{b})与(a-\sqrt{b})$的积是1时,我们仍然称这两个实数互为倒数.
(1)试判断$(4+\sqrt{2})与(4-\sqrt{2})$是否互为倒数,并说明理由；
(2)若实数$(\sqrt{x}+\sqrt{y})是(\sqrt{x}-\sqrt{y})$的倒数,求点$(x,y)$中纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并画出函数图像.

答案：

(1) $(4 + \sqrt{2})$ 与 $(4 - \sqrt{2})$ 不互为倒数，因为 $(4 + \sqrt{2})×(4 - \sqrt{2})=16 - 2 = 14$。
(2) $y = x - 1(x\geqslant1)$，图像如下图。

3. (1)求证：$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}+\frac{a^2}{(ab+1)^2}}= \left|a+\frac{1}{b}-\frac{a}{ab+1}\right|$；
(2)计算：$\sqrt{1+2016^2+\frac{2016^2}{2017^2}}-\frac{1}{2017}$.

答案：
(1) 因为 $(a+\frac{1}{b}-\frac{a}{ab + 1})^{2}$
$=a^{2}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{(ab + 1)^{2}}+2\left[\frac{a}{b}-\frac{a^{2}}{ab + 1}-\frac{a}{(ab + 1)b}\right]$
$=a^{2}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{(ab + 1)^{2}}+2\left[\frac{a(ab + 1)-a^{2}b - a}{(ab + 1)b}\right]$
$=a^{2}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{(ab + 1)^{2}}$，
所以 $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{(ab + 1)^{2}}}=\left|a+\frac{1}{b}-\frac{a}{ab + 1}\right|$。
(2) 在
(1)中，令 $a = 2016$，$b = 1$，则原式 $=\left|2016 + 1-\frac{2016}{2017}\right|-\frac{1}{2017}=2016$。

4. 已知$\sqrt{x}= \sqrt{2016}-\frac{1}{\sqrt{2016}}$,求$\sqrt{\frac{x+2+\sqrt{x^2+4x}}{x+2-\sqrt{x^2+4x}}}$的值.

答案： 因为 $\sqrt{x}=\sqrt{2016}-\frac{1}{\sqrt{2016}}$，所以 $x = 2016+\frac{1}{2016}-2$，所以 $x + 2 = 2016+\frac{1}{2016}$，$(x + 2)^{2}=(2016+\frac{1}{2016})^{2}$，即 $x^{2}+4x + 4 = 2016^{2}+\frac{1}{2016^{2}}+2$，$x^{2}+4x = 2016^{2}+\frac{1}{2016^{2}}-2$，$x^{2}+4x=(2016-\frac{1}{2016})^{2}$，所以 $\sqrt{x^{2}+4x}=2016-\frac{1}{2016}$。将 $x + 2 = 2016+\frac{1}{2016}$、$\sqrt{x^{2}+4x}=2016-\frac{1}{2016}$ 整体代入，得原式 $=\sqrt{\frac{2016+\frac{1}{2016}+2016-\frac{1}{2016}}{2016+\frac{1}{2016}-2016+\frac{1}{2016}}}=\sqrt{\frac{2016×2}{\frac{2}{2016}}}=\sqrt{2016^{2}}=2016$。

5. 已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 1$,$2008x^2= 2010y^2= 2012z^2$,且$x＞0$,$y＞0$,$z＞0$.求证：$\sqrt{2008x+2010y+2012z}= \sqrt{2008}+\sqrt{2010}+\sqrt{2012}$.

答案： 设 $2008x^{2}=2010y^{2}=2012z^{2}=k(k＞0)$，则 $2008x=\frac{k}{x}$，$2010y=\frac{k}{y}$，$2012z=\frac{k}{z}$。
因为 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$，
所以 $\sqrt{2008x + 2010y + 2012z}=\sqrt{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}=\sqrt{k(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}=\sqrt{k}$，
$\sqrt{2008}+\sqrt{2010}+\sqrt{2012}=\sqrt{\frac{k}{x^{2}}}+\sqrt{\frac{k}{y^{2}}}+\sqrt{\frac{k}{z^{2}}}=\frac{\sqrt{k}}{x}+\frac{\sqrt{k}}{y}+\frac{\sqrt{k}}{z}=\sqrt{k}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sqrt{k}$。
故 $\sqrt{2008x + 2010y + 2012z}=\sqrt{2008}+\sqrt{2010}+\sqrt{2012}$。